Integral indefinida con el "pecado" y "cos"

Question

Integral indefinida con pecado / de lechuga romana

No puedo encontrar una buena manera de integrar: $$\int\dfrac{3\sin(x) + 2\cos(x)}{2\sin(x) + 3\cos(x)} \; dx

Answer 1

Es una lástima que usted no tiene un signo menos en el numerador, ya que $$D\ln(3\cos x+2\sin x)=\frac{2\cos x-3\sin x}{3\cos x+2\sin x},$$ pero vamos a ver cómo podemos utilizar este hecho de todos modos.

Nos permite dirigirnos a la escritura $$\frac{2\cos x+3\sin x}{3\cos x+2\sin x}=c_1 \frac{2\cos x-3\sin x}{3\cos x+2\sin x}+c_2 \frac{3\cos x+2\sin x}{3\cos x+2\sin x}$$ desde aquellos términos son fáciles de integrar. Esto nos lleva a las ecuaciones lineales $2=2c_1+3c_2$$3=-3c_1+2c_2$. La solución a este sistema es $c_1=-5/13$ $c_2=12/13$. Así $$\int\frac{2\cos x+3\sin x}{3\cos x+2\sin x}\,dx = -\frac{5}{13}\int \frac{2\cos x-3\sin x}{3\cos x+2\sin x}\,dx +\frac{12}{13}\int \frac{3\cos x+2\sin x}{3\cos x+2\sin x}\,dx.$$ Supongo que se puede tomar desde aquí?

Answer 2

![El método que yo estaba hablando de si nadie en particular, OP está interesado.... ][1]

[1]: http://i.stack.imgur.com/r05sp.jpg $$\text{ que haya un triángulo rectángulo con Un ángulo de (no con medida de 90 grados) } \\ \text{ cuyos adyacentes ha medición } 3 \text{ y cuyo opuesto ha medición } 2. \\ \text{ por lo Tanto la hipotenusa del triángulo ha de medición } \sqrt{13}. \\ \text{ Así que esto significa } \sin(A)=\frac{2}{\sqrt{13}} \text{ y } \cos(a)=\frac{3}{\sqrt{13}} . \\ \text{ } \\ \text{ } \\ 3 \sin(x)+2 \cos(x)=\sqrt{13}(\frac{3}{\sqrt{13}} \sin(x)+\frac{2}{\sqrt{13}} \cos(x)) \\ =\sqrt{13}(\cos(a) \sin(x)+\sin(Un) \cos(x)) =\sqrt{13} \sin(x+A) \\ \text{ } \\ \text{ } 2 \sin(x)+3 \cos(x) = \sqrt{13}(\frac{2}{\sqrt{13}} \sin(x)+\frac{3}{\sqrt{13}} \cos(x)) \\ \text{ } \\ \text{ } =\sqrt{13}(\sin(Un) \sin(x)+\cos(a) \cos(x)) =\sqrt{13} \cos(x-A) \\ \text{... } \\ \int \frac{ 3 \sin(x)+2 \cos(x)}{ 2 \sin(x)+3 \cos(x) } dx= \int \frac{\sqrt{13} \sin(x+A) }{\sqrt{13} \cos(x-A) } dx \\ =\int \frac{ \sin(x-A+2A)} {\cos(x-A)} dx=\int \frac{ \sin(x-A) \cos(2A)+ \sin(2A) \cos(x-A)}{\cos(x-A)} dx \\ =\cos(2A) \int \frac{ \sin(x-A)}{\cos(x-A)} dx+ \sin(2A) \int \frac{\cos(x-A)}{\cos(x-A)} dx\\ =(\cos^2(A)-\sin^2(A)) \int \frac{\sin(x-A)}{\cos(x-A)} dx+2 \sin(Un) \cos(a) \int 1 dx \\ =((\frac{3}{\sqrt{13}})^2-(\frac{2}{\sqrt{13}})^2) \int \frac {du}{u} +2 \frac{2}{\sqrt{13}} \frac{3}{\sqrt{13}} x +C \\ \text{ (nota: donde } u=\cos(x-A) \text{ y así } du=-\sin(x-A) dx \text{ ) } \\ =(\frac{9}{13}-\frac{4}{13}) (- \ln|u|)+\frac{12}{13} x+C \\ =- \frac{5}{13} \ln|\cos(x-A)| +\frac{12}{13}x+C \\ =-\frac{5}{13} \ln|\cos(x) \cos(a)+\sin(x) \sin(Un)|+\frac{12}{13}x+C \\ =-\frac{5}{13} \ln|\cos(x) \frac{3}{\sqrt{13}}+ \sin(x) \frac{2}{\sqrt{13}}|+\frac{12}{13}x+C \\ =-\frac{5}{13} \ln| \frac{1}{\sqrt{13}} (3 \cos(x)+2 \sin(x))| +\frac{12}{13}x+C \\ =-\frac{5}{13} \ln|\frac{1}{\sqrt{13}}|-\frac{5}{13} \ln|3 \cos(x)+2 \sin(x)|+\frac{12}{13}x+C \\ =-\frac{5}{13} \ln|3 \cos(x)+2 \sin(x)|+\frac{12}{13}x-\frac{5}{13} \ln|\frac{1}{\sqrt{13}}|+C \\ =-\frac{5}{13} \ln|3 \cos(x)+2 \sin(x)|+\frac{12}{13}x+K \\ $$

Answer 3

Nosotros podemos dividir esto en dos integrales:

$$3 \int \frac{\sin(x)}{2\sin(x)+3\cos(x)}dx + 2 \int \frac{\cos(x)}{2\sin(x)+3\cos(x)}dx.$$

Centrándose en la segunda integral encontramos:

$$\int \frac{\cos(x)}{2\sin(x)+3\cos(x)}dx = \int \frac{1}{2\tan(x)+3}dx$$

Hacer la sustitución $u=2\tan(x)+3$ $$du = 2\sec^2(x)dx = 2(\tan^2(x)+1)dx = 2(u^2+1)dx. que

Por lo tanto tenemos %#% $ #%

Esta integral puede ser computado por la substitución de otra:

$$\int \frac{\cos(x)}{2\sin(x)+3\cos(x)}dx = \frac12 \int \frac{1}{u(u^2+1)} du = \frac12 \int \left(\frac{1}{u} - \frac{u}{u^2+1}\right) du.$$

Completa la segunda integral. Los primeros pueden ser manejados de una manera similar.

Answer 4

El uso de esta identidad trigonométrica: $$\frac{3\sin x+2\cos x}{2\sin x+3\cos x} = \overbrace{\frac{12}{13} + \frac5{13}\tan\left( x - \varphi \right)}^{\text{Para integrar esta función.}} \text{ donde }\varphi = \arctan\frac 2 3.$$ NOTA: al principio me extravió el denominador en $5/13$ y sólo tenía $5$ como el coeficiente. @robjohn señaló el error en los comentarios de abajo.

Prueba: El gráfico se ve como una función de tangente con el período de $\pi$, salvo que el punto de inflexión es mayor que el $x$ejes y las asíntotas no están en $\pm\pi/2$. Las asíntotas se producen donde el denominador es $0$, por lo que en esos puntos $2\sin x+3\cos x=0$, lo $\tan x = -3/2$. Por lo tanto los puntos de inflexión están en $$\frac\pi2 -\arctan\frac 3 2 = \arctan\frac 2 3.$$ Tenemos $$\frac{3\sin x+2\cos x}{2\sin x+3\cos x} = \frac{3\tan x + 2}{2\tan x + 3}$$ y al $\tan x = \dfrac 2 3$ esto se simplifica a $\dfrac{12}{13}$. Así que queremos $$\frac {12}{13} + c\tan(x-\varphi) = \frac{12}{13} + c\frac{\tan x - \frac 2 3}{1+ \frac 2 3 \tan x} = \frac {12}{13} + c\frac{3\sin x - 2\cos x}{3\cos x + 2\sin x}.$$ Necesitamos encontrar el valor de $c$ para que podamos obtener el derecho de la función, y un poco de álgebra nos dice $c=5/13$.

Answer 5

Sugerencia: Una forma es utilizar / reducir fórmulas de ángulo tan medio como $\cos(x) = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ $dx.$