Discriminante de una extensión radical de un campo numérico cuadrático

Question

Dejemos que $K=\mathbb Q(\sqrt 5)$ y $\varepsilon = \frac{3 + \sqrt 5}{2}$ su unidad fundamental totalmente positiva (es decir, genera el subgrupo de unidades totalmente positivas). Para cualquier $n \geq 3$ , dejemos que $L_n = K(\zeta_{5 \times 2^n}, \sqrt[5\times 2^n]{\varepsilon})$ , donde $\zeta_{5 \times 2^n}$ es una primitiva $5 \times 2^n$ -en la raíz de la unidad. En otras palabras, $L_n$ es el campo de división de $X^{5 \times 2^n} - \varepsilon$ en $K$ .

Me gustaría calcular, o al menos acotar, el discriminante absoluto de $L_n$ . Gracias de antemano.

Answer 1

Escribe $D_n$ para el discriminante absoluto $\left|\mathrm{disc}(L_n|\mathbb{Q})\right|$ del campo de interés y $d_n$ por su grado. Entonces el discriminante de la raíz está entre corchetes en el intervalo $$5^{31/20}2^{n-1} \le D_n^{1/d_n} \le 5^{31/20}2^{2(n-1)}.$$

El poder de $5$ viene de $L_1 = \mathbb{Q}(\zeta_{10},\root{10}\of\varepsilon) = \mathbb{Q}\bigl(\zeta_5,\root{5}\of{(1+\sqrt{5})/2}\bigr)$ (mediante la teoría de Kummer o un rápido cálculo explícito ingenuo).

Más allá de $L_1$ Estamos apilando extensiones cuadráticas, adjuntando la raíz cuadrada de alguna unidad algebraica $\eta$ en cada uno de los $2(n-1)$ pasos que comienzan con $n=2$ . El discriminante relativo en cada paso no puede ser peor que un ideal que divide el cuadrado del ideal principal $(\sqrt{\eta}-(-\sqrt{\eta})) = (2)$ lo que implica el límite superior. Uniendo las sucesivas raíces cuadradas de $2$ -raíces de potencia de la unidad primero, cada uno contribuye exactamente a eso, y por lo tanto contribuye a un factor de $2$ al discriminante de la raíz; hacemos esto $n-1$ veces, de ahí el límite inferior.

Ejecutar los primeros ejemplos a través de GP/PARI sólo lleva unos minutos (pero medio GB de RAM). Resulta que $L_2$ termina justo en el medio del intervalo anterior en $D_2=2^{120}5^{124}$ : pasando de $\root 20\of\varepsilon$ a $\root 40\of \varepsilon$ sólo aporta otro factor $2^{1/2}$ al discriminante de la raíz. Y esto parece el comienzo de una tendencia: $$D_3 = 2^{840} 5^{496}; D_3^{1/320}=2^{21/8}5^{31/20} = 2^{2+1/2+1/8}5^{31/20},$$ $$D_4 = 2^{4680}5^{2464}; D_4^{1/1280}=2^{117/32}5^{31/20} = 2^{3+1/2+1/8+1/32}5^{31/20}$$ donde el primer sumando en el exponente de $2$ de la derecha proviene del $2$ -raíces potentes de la unidad y los restantes sumandos de las raíces cuadradas iteradas de la unidad real.