Dada una $\triangle ABC$ construir otro triángulo cuyos lados midan los inversos de las altitudes de $\triangle ABC$

Question

Dada una $\triangle ABC$ queremos construir el $\triangle XYZ$ cuyos lados son los inversos de las altitudes de $\triangle ABC$ . Si denotamos las altitudes por $h_a,h_b,h_c$ entonces los lados de $\triangle XYZ$ son $\frac{1}{h_a},\frac{1}{h_b},\frac{1}{h_c}$

Podemos encontrar la longitud de $\frac{1}{h_a}$ utilizando la inversión del círculo con una circunferencia de radio 1 y centrada en los pies de las altitudes , pero ¿cómo encontrar el ángulo necesario para resolverlo? ¿Hay alguna otra respuesta más práctica que esta?

Answer 1

¿Cuál es su definición de $1$ ¿Aquí? No hay ninguna unidad inherente en el plano geométrico.

Si sólo quieres segmentos de línea que sean inversamente proporcionales a los lados dados, una forma es elegir un punto arbitrario y tres segmentos de línea desde ese punto con longitudes de tus lados dados. A continuación, construye el círculo a través de los otros puntos extremos y extiende los segmentos en cuerdas. Los segmentos extendidos serán inversamente proporcionales a las longitudes dadas.

En el diagrama, los segmentos rojos son las longitudes de los lados del triángulo, y los segmentos azules son inversamente proporcionales a los rojos.

Si tienes una unidad, el siguiente diagrama muestra cómo tomar tres recíprocos. Utiliza un ángulo arbitrario con vértice $O$ . Las distancias de $O$ a los puntos rojos $A'$ , $B'$ y $C'$ son las longitudes para las que hay que encontrar los recíprocos, y la distancia de $O$ a $U'$ es la unidad. Estos puntos están todos en la misma semirrecta. Un círculo determina $U''$ en el otro rayo. Línea $\overline{U'A''}$ es paralela al segmento $\overline{U''A'}$ y así sucesivamente. La distancia $OA''$ es entonces el recíproco de la distancia $OA'$ y así sucesivamente.

El primer método es más elegante y no depende de una unidad, pero no da recíprocos.