Transformación de coordenadas para encontrar la métrica de Minkowski

Question

Tengo el siguiente ejercicio de cosmología:

i) calcular el factor de escala de evolución para un universo abierto y vacío y escribir su métrica espaciotemporal en términos de coordenadas $\chi$ \begin{equation} d\chi = \frac{dr}{\sqrt{1-Kr^2}}. \end{equation}

ii) demostrar que esto es equivalente a la métrica de Minkowski $$ds^2 = d\tau^2 -dr^2 -r^2d\Omega^2 $$ utilizando la siguiente transformación: $$\tau=t \text{cosh}(|k|^{1/2}\chi) \quad \text{and} \quad r = t \text{sinh}(|k|^{1/2}\chi).$$

Para i) calculé el factor de escala a partir de la ecuación de I Friedman con $\Lambda = \rho = 0 $ para un universo vacío:

\begin{equation} a(t)=\int \dot{a}(t) dt= \int_0^t c dt = [ct]^t_0=ct_o \end{equation}

donde la métrica es una métrica de Roberston-Walker:

\begin{eqnarray} ds^2&=&(cdt)^2 -a^2(t)\bigg (\frac{dr^2}{1-Kr^2} + r^2d\Omega^2 \bigg) \\ &=&(cdt)^2 -a^2(t)\bigg (d\chi^2 + S_k(r)^2d\Omega^2 \bigg) \end{eqnarray}

¿Es eso correcto?

Para el ii) Sin embargo no tengo ideas.. Me he dado cuenta de que la métrica de Minkowsi está dada en coordenadas esféricas pero no entiendo cómo hacer la transformación. ¿Alguien podría ayudarme?

Acabo de intentar derivar la coordenada dada y sustituir el resultado en la fórmula de la métrica de Minkowski para obtener la métrica RW, pero no funciona...

\begin{equation} dr=dt \text{sinh}(\sqrt{|k|}\chi) + t \text{cosh}(\sqrt{|k|}\chi) \sqrt{|k|} d\chi \end{equation}

\begin{equation} d\tau=dt \text{cosh}(\sqrt{|k|}\chi) + t \text{sinh}(\sqrt{|k|}\chi) \sqrt{|k|} d\chi \end{equation}

Answer 1

Así que creo que mi problema fue que me olvidé de reemplazar $r=t\text{sinh}(\sqrt{|k|}\chi)$ ¡en mi métrica de Minkowski ! Pero después de reemplazarla, y reemplazar la derivada obtengo de nuevo la métrica de Robertson-Walker, con $a(t)=t$ y con $S_k(r)=R\text{sinh}(\frac{\chi}{R})$ para un universo abierto. No sé si esto puede ayudar a alguien pero dejo el post aquí por si acaso :)