Cómo añadir restricciones a los vectores

Question

¿Es posible añadir restricciones a los vectores, más concretamente a los planos? Por ejemplo:

En este ejemplo, ¿es posible restringir el plano rojo con la ecuación cartesiana $z=0$ para ocupar sólo el área dentro del área de las líneas amarillas, de tal manera que sólo la línea verde intercepta el plano y no la púrpura?

Answer 1

Así pues, se quiere parametrizar el plano de forma que un punto del mismo esté definido por dos parámetros $$ \vec{r} = \mathbf{ S}(u,v) $$

y luego establecer límites a $u$ y $v$ para definir sus límites. En el caso de un plano, se necesita un sistema de coordenadas local con dos direcciones mutuamente ortogonales $\mathbf{e}_1$ y $\mathbf{e}_2$ que también son ortogonales a la normal del plano $ \mathbf{n} \cdot \mathbf{e}_i = 0$ . El centro de origen está en $\vec{r}_0$ .

$$ \vec{r} = \vec{r}_0+ \mathbf{e}_1 u + \mathbf{e}_2 v $$

Ahora la pregunta es: cómo establecer un sistema de coordenadas local en un plano definido por la ecuación $ax +by + cz+d =0 $

La normal del plano es $$\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \pmatrix{a\\b\\c}$$ y el punto del plano más cercano al origen es

$$ \vec{r}_0 = \pmatrix{ \frac{-a d}{a^2+b^2+c^2} \\ \frac{-b d}{a^2+b^2+c^2} \\ \frac{-c d}{a^2+b^2+c^2} } $$

La elección de las direcciones del vector unitario local es algo arbitraria, pero tiene sentido utilizar algo relacionado con los límites que se quieren definir. El único requisito para $\mathbf{e}_1 = \pmatrix{e_x & e_y & e_z}$ es que tiene $e_x a + e_y b + e_z c = 0$

Una forma de conseguirlo es encontrar la dirección más cercana al x -eje

$$\mathbf{e}_1 = \pmatrix{ \frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2} \\ \frac{-a b}{a^2+b^2+c^2} \\ \frac{-a c}{a^2+b^2+c^2} }$$

o el y -eje

$$\mathbf{e}_1 = \pmatrix{ \frac{-a b}{a^2+b^2+c^2} \\ \frac{a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2} \\ \frac{-b c}{a^2+b^2+c^2} }$$

o el z -eje

$$\mathbf{e}_1 = \pmatrix{ \frac{-a c}{a^2+b^2+c^2} \\ \frac{-b c}{a^2+b^2+c^2} \\ \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2} }$$

y por último, definir la segunda dirección a partir del producto cruzado de $\mathbf{n}$ y la primera dirección

$$ \mathbf{e}_2 = \text{unitvector}( \mathbf{n} \times \mathbf{e}_1 ) $$

Resumen

Con el esquema anterior se puede pasar de $u$ y $v$ a un punto del plano $\vec{r}=\mathbf{S}(u,v)$ . Sus límites se establecen en términos de $(u,v)$ como coordenadas planas. Por ejemplo $u=1$ producirá una línea en el plano que está desplazada del origen del plano en una unidad a lo largo de la línea local v dirección.

Answer 2

Suponga que tiene la ecuación de una línea como $$\vec r=\vec r_0+t\vec d$$ Aquí $\vec r=(x,y,z)$ , $\vec r_0=(x_0,y_0,z_0)$ , $\vec d=(d_x,d_y,d_z)$ y $t\in\mathbb R$ . Aquí $\vec r_0$ y la dirección $\vec d$ son algunas constantes que se proporcionan para describir la línea (se pueden calcular, por ejemplo, a partir de dos puntos de la línea). La intersección de la recta anterior con el plano $P$ proporcionará una restricción en el parámetro $t$ . Por ejemplo, en el caso de que el plano esté dado por $z=0$ la intersección significa que $$z=z_0+td_z=0$$ o $$t=-\frac{z_0}{d_z}$$ Los otros componentes de la intersección son entonces $$x=x_0+td_x=x_0-z_0\frac{d_x}{d_z}\\y=y_0+td_y=y_0-z_0\frac{d_y}{d_z}$$ Lo único que hay que hacer ahora es comprobar si estos valores están dentro del área amarilla.