Tengo que demostrar que $C^{\infty}(M)$ el espacio de la función $f: M\rightarrow\mathbb{R}$ de la clase $C^{\infty}$ es un anillo conmutativo bajo el producto puntual ( $f(C)\cdot g(C), C\subseteq M$ , $C$ es un conjunto abierto), y suma.
La definición de anillo conmutativo nos dice que: $(C^{\infty}(M),+)$ tiene que ser un grupo abeliano; la multiplicación es asociativa y distributiva con respecto a la suma; la multiplicación es conmutativa y tiene $1$ como elemento de identidad.
Si $f,g\in C^{\infty}(M)$ entonces $f+g$ es de nuevo un $C^{\infty}(M)$ porque ambos $f,g$ en $\mathbb{R}$ que también es un grupo abeliano bajo $+$ tenemos $f(C)+g(C)=g(C)+ f(C)$ $\forall C\subseteq M$ . Considerando $f,g, h\in C^{\infty}(M)$ tenemos que ambos $f\cdot (g+ h)$ y $f\cdot g +f\cdot h$ están en $C^{\infty}(M)$ . Además, como $\mathbb{R}$ es un anillo, $f(C)\cdot (g(C)+ h(C)) = f(C)\cdot g(C) +f(C)\cdot h(C)$ se mantiene (la asociatividad proviene de la de $\mathbb{R}$ ).
Lo mismo ocurre con $f(C)\cdot g(C) = g(C)\cdot f(C)$ ya que $f(C)\cdot g(C)$ y $g(C)\cdot f(C)$ están en $C^{\infty}(M)$ y $\mathbb{R}$ es un anillo conmutativo. La aplicación de la identidad $I: M\rightarrow \mathbb{R}$ , $I(C)=1$ para todos $C\in M$ es $C^{\infty}(M)$ es tal que $f(C)\cdot I(C)= I(C)\cdot f(C)$ para todos $C\in M$ y $f\in C^{\infty}(M)$ (de nuevo, $\mathbb{R}$ es un anillo), y por tanto es la identidad del producto puntual.
Hágame saber si esto es correcto. Gracias.
