Aclaración sobre Riemann-Roch para curvas no reducidas

Question

Este es el ejercicio 18.4.S en Fundamentos de Geometría Algebraica de Vakil.

Dejemos que $C$ sea una curva proyectiva sobre un campo $k$ (posiblemente singular), con componentes irreducibles $C_1, ... C_n$ con puntos genéricos $\eta_1, .. \eta_n$ , $L$ sea una gavilla invertible y $F$ sea una gavilla coherente en $C$ .

Entonces, demuestre que $\chi(L \otimes F) - \chi(F)$ es la suma $\sum_{i=1}^n \deg(L\text{ on } C_i^{\operatorname{red}}) \cdot \operatorname{length}(F_{\eta_i})$ en $O_{C, \eta_i}$ .

Una sugerencia es reducir a cuando $F$ es teóricamente compatible con el esquema de $C^{\operatorname{red}}$ por lo que reducimos a cuando $C$ se reduce.

Otra sugerencia que se da es la de escribir $L = O(\sum n_j p_j)$ donde el $p_j$ son puntos regulares diferentes de los puntos asociados en $F$ .

Hay algunas cosas que no entiendo de este ejercicio.

1. ¿Qué significa exactamente " $L$ en $C_i^{\operatorname{red}}$ ¿"Significa"? $L$ es una gavilla en $C$ no $C_i^{\operatorname{red}}$ . ¿Es que tomamos $\deg(i^* L)$ donde $i : C_i^{\operatorname{red}} \rightarrow C$ ¿es la habitual inmersión cerrada?

2. ¿Qué significa que " $F$ se apoya teóricamente en el esquema $C^{\operatorname{red}}$ ? ¿Significa esto que $F$ es el pushforward de una gavilla $G$ en $C^{\operatorname{red}}$ a lo largo de $i : C^{\operatorname{red}} \rightarrow C$ ?

3. No sé qué $L = O(\sum n_j p_j)$ significa ni por qué podemos escribirlo así. Es $\sum n_j p_j$ ¿un divisor de Weil? El problema es que $C$ puede ser singular. En el capítulo sobre los divisores de Weil se asumía que el esquema es regular en codimensión 1. No sé cómo generalizar los divisores de Weil a los esquemas que pueden ser singulares.

4. Otra pregunta sobre $L = O(\sum n_j p_j)$ . La parte de $p_j$ diferentes de los puntos asociados de $F$ . Esto sugiere una relación entre $L$ y $F$ . ¿Cuál es esa relación? Desde $L$ puede ser cualquier gajo invertible y $F$ puede ser cualquier gavilla coherente, no esperaría ninguna relación.

Answer 1

1. Exactamente lo que has dicho. Estoy bastante seguro de que siempre que tengas una curva proyectiva $C$ dentro de cualquier esquema $X$ con un haz de líneas $L$ El "grado de $L$ en $C$ " significa siempre el grado de retroceso de $L$ a $C$ .
2. Exactamente lo que has dicho. Supongo que esto se define en el ejercicio 18.9.B
3. Puede tomar el $p_j$ para ser puntos regulares, por lo que es un divisor de Cartier, como en 14.3. Hacer esto significa que no hay que preocuparse por los divisores de Weil que podrían no ser de Cartier.
4. Esto no proviene de una relación entre $L$ y $F$ Creo que Sólo quiere utilizar que los conjuntos de puntos singulares y los puntos asociados de $F$ son ambos finitos. Entonces, se puede escribir $L$ como diferencia de dos divisores del hiperplano (utilizando el hecho de que $C$ es proyectiva), y se puede encontrar un hiperplano que evite un conjunto finito.

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Así es como se escribe $L$ como $\sum n_jp_j$ :

Primero, $C$ es proyectiva, por lo que tiene un haz de líneas muy amplio $\mathcal O(1)$ . Entonces, para una $n$ , $L\otimes \mathcal O(1)=:L(n)$ es muy amplia (16.6.E), y en particular es efectiva (16.6.B). Así que podemos escribir $L$ como la diferencia de $A= L(n)$ y $B=\mathcal O(n)$ que podemos suponer que ambos son muy amplios (me refiero a $L = A\otimes B^{-1}$ ).

La sección 14.3 nos dice que los haces de líneas efectivos corresponden a los divisores de Cartier. En particular, si $A$ (resp. $B$ ) es muy amplio, el divisor es una clase de hiperplano: está formado por $H\cap C$ , donde $C$ está integrado en $\mathbb P^N$ (según 16.4.1.), y $H$ es un hiperplano en $\mathbb P^N$ . Ahora, los puntos incrustados de $C$ y sus puntos singulares forman un conjunto finito, por lo que hay un hiperplano que los evita (quizá haya que tener cuidado aquí si el campo es finito). Esto significa que $A = \mathcal O(C\cap H) = \mathcal O(n_jP_j)$ para algunos $n_j\ge 0$ y $P_j$ que son puntos suaves.

Aplicando el mismo razonamiento a $B$ , $B= \mathcal O(n_j'P_j')$ y luego $$ L = A\otimes B^{-1} = \mathcal O(n_jP_j)\otimes \mathcal O(n_j'P_j')^{-1} = \mathcal O(\sum_j n_jP_j-n_j'P_j'). $$ Esto es lo que Vakil afirma que podemos encontrar.