Campo de extensión mínimo de $\mathbb{F}_2$ tal que

Question

Encuentre el campo de extensión mínimo de $\mathbb{F}_2$ tal que esta extensión contiene un elemento de orden $21$ ?

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Intento: Sé que tal extensión de $\mathbb{F}_2$ es como $\mathbb{F}_{2^s}$ y $2|s$ . Este campo tiene un elemento primitivo, por ejemplo $\alpha$ que generó todo el campo. Sabemos por teoría que tal elemento primitivo es tal que $\alpha^i =1 <=> 2^s-1|i$

Así que, $\alpha^{21}=1 <=> 2^s- 1 |21$

Así que necesito encontrar el mínimo $s$ tal que $2^s - 1$ divide $21$ . $s=3$ es el buen candidato ( $s=1$ corresponde a $\mathbb{F}_2$ que es el campo base).

Por lo tanto, dicha ampliación es $\mathbb{F}_{2^2}=\mathbb{F}_4$

¿Es correcto?

Answer 1

No, es incorrecto. Se necesita un elemento $a$ tal que $a^{21}=1$ pero $a^k\ne1$ cuando $0<k<21$ .

Como el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico, hay que encontrar el menor exponente $m$ tal que $21\mid(2^m-1)$ que es lo contrario de lo que estás haciendo.

El grupo debe tener un orden divisible por $21$ y esto es suficiente porque el grupo es cíclico (en realidad abeliano sería suficiente).

Por lo tanto, necesita $3\mid(2^m-1)$ y $7\mid(2^m-1)$ . La primera condición da lugar a $m$ incluso, el último que $3\mid m$ .