En primer lugar, la forma en que enfocas la definición es errónea y ofuscante, lo que lleva a tu segunda pregunta. Además, tu confusión respecto a los polinomios proviene de un problema común que tiene mucha gente cuando empieza a tratar con matemáticas (un poco más) abstractas: Confunden el objeto con la representación del objeto.
Lo que su definición dice es esto: Imagina que te doy dos objetos $a,b\in S$ para comparar la igualdad. Estos dos objetos son iguales si y sólo si son uno y el mismo. Normalmente, el enfoque de la teoría de conjuntos para una relación binaria en un conjunto $S$ es un $R\subset S\times S$ . Esto significa que la relación de igualdad es $E=\{(a,a)\in S\times S : a\in S\}$ lo que significa que $a=b$ si y sólo si $(a,b)\in E$ que es verdadera exactamente cuando $a$ y $b$ son uno y el mismo (o más concisamente -lo que he evitado a propósito- exactamente cuando $a=b$ ). Esto puede parecer inútil, sin interés y tautológico. En realidad, Wittgenstein en el "Tractatus Logico-philosophicus" señala este aparente sinsentido de " $=$ ". Pero tal concepto es fructífera matemáticamente porque el interés matemático en los elementos de $S$ radica en sus propiedades: Queremos conocer la forma, la estructura de un universo matemático y nuestro único medio de describirlo es a través de un lenguaje matemático. En este sentido, $3=3$ es poco interesante pero decir que por cada $x,y$ tenemos $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ te dice algo y el hecho de que dado cualquier número $n\geq 3$ nunca se pueden encontrar números naturales positivos $a,b,c$ tal que $a^n+b^n=c^n$ no es en absoluto trivial.
Ahora respecto a tu confusión, como otros han señalado estás mezclando las expresiones de los polinomios con los polinomios. $6x-6x$ es un descripción de un polinomio y así es $0$ . Pero estas dos descripciones hablan del mismo polinomio. Esta es esencialmente la información que se transmite al escribir $0=6x-6x$ (ver la utilidad de la relación de igualdad aquí). Utilizar objetos que son -en cierto sentido- diferentes para indicar la misma cosa es algo que hacemos todo el tiempo, incluso fuera de las matemáticas. Sin esto no podríamos comunicarnos, ya que las palabras como objetos físicos son diferentes entre sí, aunque puedan deletrear lo mismo. Cada vez que ves letras en un papel, ignoras su naturaleza física (que están formadas por átomos que probablemente nunca has encontrado antes, y definitivamente no en esa forma) y sólo te importa lo que simbolizan .
Por último, respecto a su segunda pregunta: Formalmente, no, es la misma definición. En un entorno formal, la definición estándar del significado del símbolo " $=$ "es siempre la diagonal. Una expresión como $x^2=2x$ no tiene ningún significado porque $x$ es una variable libre. Asignamos un valor de verdad (verdadero o falso) en frases que se definen como fórmulas que no contienen ninguna variable libre. Intuitivamente, pregúntese lo siguiente: En primer lugar, ¿qué es esto $x$ ? En segundo lugar, una relación se define como un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto. ¿Qué es este conjunto? Para " $=$ " para ser una relación en la fórmula $x^2=2x$ significaría que $x^2$ y $2x$ son elementos de un conjunto. Así que tu pregunta no está bien definida. Lo que queremos decir cuando decimos que algunos $a\in\mathbb{R}$ (por ejemplo) satisfacen $x^2=2x$ es que $a^2=2a$ o que el $a^2$ es el mismo número con $2a$ , que es exactamente la definición de la igualdad que yo (y el libro que estás estudiando) presenté.
Editar: Cuando se escribe una frase matemática como " $2+3=5$ " o " $(\forall x)((2x)^2=4x^2)$ "hay que tener en cuenta que se trata de cadenas de símbolos. Como señala Calvino estas cadenas no tienen un significado específico. El significado es algo que equipar en un lenguaje. La definición de verdad de Tarski es más o menos lo que hacemos cuando enseñamos a los niños muy pequeños el significado de las palabras. Les mostramos los objetos y les decimos "Esto es un COCHE". A través de la repetición, los niños aprenden a equiparar el concepto de automóvil con el sonido "coche".
Tarski dijo más o menos lo mismo: Supongamos que tenemos un conjunto $S$ una función $f:S\times S\to S$ , una relación $E\subset S\times S$ y algunos elementos $a,b,c\in S$ . Ahora vengo con un lenguaje que tiene símbolos " $+$ ", " $=$ " y " $0$ ", " $1$ ", " $2$ ". Luego podemos asignar a cada símbolo un objeto real, por ejemplo diremos que " $+$ " representará $f$ , " $=$ " representará $E$ y cada uno de " $0$ ", " $1$ ", " $2$ " representará $a,b,c$ respectivamente. Ahora podemos decir que la frase " $2+1=3$ " es cierto en el mundo $(S,f,E,a,b,c)$ exactamente cuando $(f(b,a),c)\in E$ . En la práctica, intentamos utilizar los mismos símbolos para funciones y relaciones similares y por eso reservamos el símbolo " $=$ " para la relación diagonal.
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Para su segunda pregunta, supongo que, por lo general, estamos definiendo implícitamente el conjunto $S = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 = 2x \}$ o algo parecido.