En el subcampo de $\mathbb C(x)$ fijado por la inversión de la variable

Question

Dejemos que $\mathbb C(x)$ sea el campo de las funciones racionales con coeficientes complejos, es decir, es el campo de fracciones de $\mathbb C[x]$ .

Estoy tratando de determinar explícitamente el subcampo de $\mathbb C(x)$ dado por $\{f(x) \in \mathbb C(x) : f(x)=f(1/x) \}$ .

Puedo demostrar que cualquier elemento del subcampo de la forma $p(x)/q(x)$ con $p(x), q(x)$ son polinomios de grado $1$ es en realidad un miembro de $\mathbb C$ . No estoy seguro de lo que ocurriría con otros elementos.

Por favor, ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que el elemento $x + 1/x$ es invariable bajo $x \mapsto 1/x$ . Considere la extensión del campo $K := \mathbb{C}(x + 1/x) \subset L := \mathbb{C}(x)$ es un ejercicio fácil ver que $K \not= L$ . Consideremos el polinomio $$ p(t) = t^2 -at+1 $$ donde $a = x + 1/x \in K[t]$ Entonces, como $p(x) = 0$ es el polinomio mínimo de $x$ en $K$ y esta extensión tiene grado 2 y es de Galois (toda extensión de grado 2 es de Galois), entonces su grupo de Galois tiene orden dos y contiene $x \mapsto 1/x$ y la identidad, la única posibilidad es que $Gal(L/K) = \{ x \mapsto 1/x, Id\}$ . Por lo tanto, $K = L^{Gal(L/K)}$ es decir $K$ es el campo fijo de $Gal(L/K)$ en L.

Edición: El Teorema fundamental_de la teoría de Galois se utilizó.