Una nueva conexión simétrica no métrica que generaliza la ecuación geodésica(Versión 2)

Question

Una curva $\alpha$ en una variedad riemanniana $(M,g,\nabla)$ es una geodésica si $\nabla_TT=0$ , donde $T$ es el campo vectorial tangente. Una generalización de esta ecuación geodésica sugiere que $\nabla_TT=\rho T$ donde $\rho$ es una función de valor real. Para obtener tales curvas se puede definir una nueva conexión simétrica no métrica $$\bar \nabla_XY=\nabla_XY+u(X)Y+u(Y)X$$ donde $u$ es una forma 1. En este caso las geodésicas de la nueva conexión satisfacen $$\nabla_TT=-2u(T)T$$ Si pudiéramos determinar una forma 1 $u$ tal que $-2u(T)=\rho$ entonces las geodésicas de la nueva conexión son aquellas curvas que satisfacen la ecuación geodésica general de la antigua conexión. He derivado el tensor de curvatura de la nueva conexión en términos del antiguo tensor de curvatura, la 2 forma $du(X,Y)$ y $S(X,Y)=X(u(Y))-u(\nabla_XY)-u(X)u(Y)$ . Intento conseguir ejemplos sencillos de dichas curvas. Ahora he preguntado lo siguiente.
Mi pregunta es
(1) ¿Hay alguna pista para determinar la forma 1 utilizando la única condición dada
(2) ¿Cómo puedo determinar la importancia de estas curvas (minimizar la distancia, ...).

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Alex y Benoit dijo que $\rho$ debería ser cero y, por lo tanto, mi ensayo para solucionar el problema fracasó. Pero tenemos dos cuestiones importantes
(1) Una nueva conexión simétrica no métrica (me di cuenta de que Pandey, Tripathe y Agashe definieron y estudiaron muchas conexiones semi-simétricas no métricas, pero no me di cuenta de la importancia de introducir estas nuevas conexiones en una variedad equipada con la conexión Levi-Civita) ¿Es importante estudiar estas nuevas conexiones?
(2) Geodésicas generales: He resuelto el problema para geodésicas generales del plano con constante $\rho$ sin usar la forma única, siguen siendo rectas con algunas propiedades extrañas (dada la posición inicial y la velocidad inicial tengo dos rectas diferentes (una geodésica y una geodésica general) que pasan por el mismo punto con la misma velocidad). ¿Hay alguna pista para solucionar el problema de resolver la ecuación geodésica general para una variedad arbitraria?

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Gracias de antemano.

Answer 1

Espero que lo siguiente pueda aclarar lo que se discute en el comentario.

Dejemos que $\rho $ sea una función sobre una variedad riemanniana $M$ y $\gamma:[0,1]\to M$ sea una geodésica. Sea $T(t)$ sea el vector tangente unitario. Sea $U = aT$ para alguna función positiva $a :[0,1] \to \mathbb R$ . Entonces $\nabla_U U = \rho U $ puede escribirse como

$\rho(\gamma(t)) a(t)T(t) = a\nabla_T (aT) = a(t) \dot a(t)T \Rightarrow \dot a(t) = \rho (\gamma(t))\Rightarrow a(t) = \int^t_0 \rho(\gamma(s))ds + a(0)$

Así, si se considera la parametrización $c: [0,d]\to [0,1]$ tal que $\dot c(s) = a(c(s))$ entonces la curva $\alpha = \gamma \circ c$ satisface

$\dot \alpha (s) = a(c(s)) T(c(s)) = U(c(s))$ .

Así, $\alpha$ satisface $\nabla_{\dot \alpha} \dot \alpha = \rho \dot \alpha$ . Tenga en cuenta que $\alpha$ es geométricamente igual a $\gamma$ . Así que tiene sentido que hayas obtenido una recta en tu cálculo. Es decir, obtuviste una geodésica de todos modos, pero con algunas otras parametrizaciones.

Answer 2

Las curvas que describes son exactamente reparametrizaciones de geodésicas. Esto se extiende sin problemas a las conexiones lineales generales en $TM$ (normalmente se supone que no hay torsión). Se llama a tales conexiones lineales proyectivamente equivalentes si tienen las mismas geodésicas hasta la parametrización, y resulta que esto es equivalente a estar relacionadas como $\hat\nabla_XY=\nabla_XY+u(X)Y+u(Y)X$ para una forma única $u$ . (Para encontrar $u$ explicadamente en una situación como la descrita en tu pregunta, sólo hay que resolver una EDO). Todo el tema fue estudiado clásicamente como "equivalencia proyectiva de connecitones afines" y "geometría diferencial proyectiva". Esto se debe a que el espacio proyectivo, como espacio homogéneo del grupo de transformaciones proyectivas, puede verse como el modelo homogéneo de una variedad suave dotada de una clase de equivalencia proyectiva de conexiones. En los últimos años se ha renovado bastante el interés por estos temas (y sus relaciones con la geometría de Riemann), ya que están estrechamente relacionados con la geometría conforme y, más generalmente, con las geometrías parabólicas.