La raíz real positiva de $9x^5+7x^2-9=0$

Question

$$9x^5+7x^2-9=0$$

¿Cómo evaluamos las raíces del polinomio dado? Se nos pide que encontremos su cero real positivo.

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Lo que intenté hacer:

Dejemos que $$f(x)=9x^5+7x^2-9$$ Utilizando la regla de los signos de Descartes, deduje que el polinomio dado puede tener como máximo un cero real positivo. También- $$f(-x)=-9x^5+7x^2-9$$ De esta expresión podemos deducir que el polinomio dado tiene como máximo dos ceros reales negativos. De aquí se deduce que el polinomio tiene al menos dos raíces complejas.

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Esto no es mucho progreso, y no estoy seguro de qué más podría hacer. Según Wolfram Alpha este polinomio tiene un cero real positivo y cuatro ceros complejos. Cualquier sugerencia o explicación sería apreciada, ¡gracias! Además, no estoy seguro de si se trata de un polinomio irreducible o no, así que no incluiré esa etiqueta.

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EDITAR:

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He encontrado los puntos máximos y mínimos de $f(x)$ : $$f'(x)=45x^4+14x=0$$ $$x(45x^3+14)=0$$ $$x=0$$ o $$x=- \sqrt[3]{\frac {14}{45}}$$ Esto me da los extremos de la curva, y ahora tengo una aproximación de la curva.

Answer 1

Observe que $f(0)=-9$ y $f(1)=7$ . Así que por la IVT el polinomio tiene al menos una raíz real. Ahora observemos que $f^\prime(x) = 45x^4+14x$ . Creando una tabla de signos y dibujando el gráfico, se observa que cruza el $x$ -eje exactamente una vez. Por lo tanto, se puede concluir que hay exactamente una raíz real, y está entre $0$ y $1$ .

Además, aplicando el teorema de la raíz racional, las posibles raíces de $f$ son: $\pm 1, \pm 3,\pm 9, \pm \frac13, \pm \frac19$ . Si se introducen todos estos datos, se comprueba que ninguno de ellos es una raíz de $f$ . Por lo tanto, la raíz de valor real de $f$ no puede ser racional.

El Newton-Raphson es sólo una aplicación específica de las técnicas que aprendiste en el cálculo. Como sabes que la raíz real está entre $0$ y $1$ y esta gráfica cumple las condiciones suficientes de convergencia de este método, se puede encontrar la raíz de esta gráfica. Además, este método converge muy rápidamente a la raíz, por lo que se puede encontrar una aproximación muy precisa de esta raíz en unas pocas iteraciones.

Te preguntarás: ¿hay alguna forma de expresar la solución en forma de radicales, similar a la fórmula cuadrática? La respuesta es no. Según la Teorema de la imposibilidad En general, no hay forma de expresar las soluciones de los polinomios de grado cinco o superior en términos de radicales. Así que técnicas como ésta son la mejor manera de determinar las raíces de estas ecuaciones.

Answer 2

$$f(0)=-9\text{ and }f(1)=7$$ para que la raíz positiva se encuentre en algún punto intermedio. Podemos utilizar el valor inicial $\frac12$ para las iteraciones de Newton,

$$x\leftarrow x-\frac{9x^5+7x^2-9}{45x^4+14x}.$$

Answer 3

Vas a tener que utilizar aproximaciones numéricas. Newton-Raphson es bueno, también está la búsqueda de la sección áurea y el algoritmo de bisección.

Si te preguntas cuál es la respuesta, utilizando las matemáticas la función NSolve utilizará una combinación de Bisección, Newton-Raphson para aproximar los valores.

NSolve[ $9x^5 + 7 x^2 - 9 == 0, x$ ]

Lo que produce el conjunto

{
    {x -> -0.856287 - 0.435738 I}, 
    {x -> -0.856287 + 0.435738 I}, 
    {x -> 0.432007 - 1.04404 I}, 
    {x -> 0.432007 + 1.04404 I}, 
    {x -> 0.84856}
}

Lo que resulta en su $1$ solución real de $f(0.84856) \sim 0$