Cómo mostrar que el subgrupo del conmutador es un subgrupo normal

Question

Se sugiere como ejercicio en el libro "Algebra" de Serge Lang para mostrar que el subgrupo de conmutadores $G^c$ de un grupo $G$ es un subgrupo normal.

Me gustaría hacerlo, pero me temo que necesito ayuda,

Creo que lo primero que necesito averiguar es cómo se ve un elemento general en el subgrupo del conmutador, para poder comprobar que se satisface la condición definitoria de la normalidad.

Es decir, suponiendo por un momento que un elemento general en $G^c$ se denota por $g$ Necesito mostrar que $aga^{-1} \in G^c,$ para todos $a \in G$ .

Pero aquí me quedo atascado, primero porque no estoy seguro de cómo escribir un elemento general en $G^c$ - un simple producto en $G^c$ es de la forma $xyx^{-1}y^{-1}aba^{-1}b^{-1}$ donde $a,b \in G$ . No puedo ver una manera de simplificar esto - estoy seguro de que hay una, pero de alguna manera estoy ciego hoy.

La segunda cosa entonces es, incluso si uno prueba la conjugación de un elemento simple como $xyx^{-1}y^{-1}$ en $G^c$ otra vez la simplificación no se ofrece fácilmente, creo ¿qué me estoy perdiendo?

Una alternativa sería encontrar un homomorfismo de $G$ cuyo núcleo es precisamente $G^c$ - aquí traté de pensar en esto como un mapa $G \times G \to G$ pero lo que yo cocino no es un homomorfismo.

¡¡Gracias por tus indirectas!!

Answer 1

Denotemos el conmutador de $a$ y $b$ por $a^{-1}b^{-1}ab = [a,b]$ .

Si $u$ es un elemento del subgrupo conmutador, entonces $g^{-1}ug = u(u^{-1}g^{-1}ug) = u[u, g]$ .

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Otra aproximación: el subgrupo de conmutadores se define como el subgrupo generado por los conmutadores, por lo que cada elemento del subgrupo de conmutadores es de la forma $$[a_1, b_1][a_2,b_2]\ldots[a_n, b_n].$$ Basta con demostrar que $g^{-1}[a,b]g$ está siempre en el subgrupo del conmutador, porque entonces

$$g^{-1}[a_1, b_1][a_2,b_2]\ldots[a_n, b_n]g = (g^{-1}[a_1, b_1]g)(g^{-1}[a_2,b_2]g)(g^{-1}\ldots g)(g^{-1}[a_n, b_n]g)$$

es un producto de elementos del subgrupo conmutador. Cuando $\phi$ es un homomorfismo cualquiera, tenemos $\phi([a,b]) = [\phi(a), \phi(b)]$ . Ya que para cualquier $g \in G$ el mapa $\phi$ definido por $\phi(x) = g^{-1}xg$ es un homomorfismo, el resultado es el siguiente.

Answer 2

Si $c \in G'$ y $g \in G$ entonces también $[g, c] = gc g^{-1} c^{-1} \in G'$ . Como G' es cerrado bajo productos, también tendríamos $(gc g^{-1} c^{-1})c \in G'$ . Pero $(gc g^{-1} c^{-1})c = gcg^{-1} \in G'$ Por lo tanto, por definición $G'$ es un subgrupo normal de $G$ .

Answer 3

Para demostrar que $G^{c}$ es un subgrupo normal de $G$ basta con demostrar que si $(g,[c,d])\in{G}\times{G^{c}}$ entonces $g[c,d]g^{-1}\in{G^{c}}$ . Pero, $$g[c,d]g^{-1} = [gcg^{-1}, gdg^{-1}].$$ Desde $G^{c}$ está compuesto por productos finitos de conmutadores en $G$ para cualquier $x\in{G^{c}}$ debe ser el caso que $gxg^{-1}\in{G^{c}}$ para cualquier $g\in{G}.$

Answer 4

Si ${ghg^{-1} \in H}$ para todos ${g \in G}$ y para todos ${h \in H}$ implica ${gHg^{-1} =H}$ , entonces H es un subgrupo normal.

• sólo tenemos que demostrar que ${g(xyx^{-1}y^{-1})g^{-1} \in H'}$ para todo en G y x,y en G. ya que ${gxyx^{-1}y^{-1}g^{-1}= ((gx)y(gx)^{-1}y^{-1}) \rightarrow (ygy^{-1}g^{-1}) \in H' }$ Hemos terminado.