Demostrar que $x\log x$ es el punto medio convexo.

Question

Demostrar que la función de entropía negativa $f(x)=x\log x$ es el punto medio convexo en $(0,+\infty)$ .

Intento . Sea $0<x<y$ Así que..: $$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$$ es equivalente a: $$\left(\frac{x+y}{2}\right)^{\frac{x+y}{2}}\leq x^{\frac{x}{2}} y^{\frac{y}{2}},$$ siendo equivalente a: $$\left(\frac{x+y}{2}\right)^{x+y}\leq x^x y^y.$$ La última desigualdad es equivalente a: $$(x+y)^{x+y}\leq (2x)^x (2y)^y.$$ Sería suficiente para demostrar $(x+y)^{x}\leq (2x)^x,~(x+y)^{y}\leq (2y)^y$ Sin embargo, la primera desigualdad no parece sostenerse.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Aplicando la desigualdad de Jensen a $f$ es una forma fácil. Si no, se puede aplicar la desigualdad GM-HM para obtener $$ x^{\frac{x}{x+y}}y^{\frac{y}{x+y}}\ge \frac{1}{\frac{x}{x+y}\frac1{x}+\frac{y}{x+y}\frac1{y}}=\frac{x+y}2. $$