La colección de todas estas dos líneas NO llenan todo el $\mathbb{R}^3$ . Por ejemplo, ¿qué combinación de $u$ y $v$ da el punto $(2,0,-1)$ ? En general, si tiene un conjunto de $n$ vectores que viven en $\mathbb{R}^{n+k}$ entonces el subespacio de $\mathbb{R}^{n+k}$ obtenido tomando todas las combinaciones lineales de los $n$ vectores es, como máximo, de una dimensión n.
¿Recuerdas cuando encontrabas el vector normal a un plano en el cálculo $3$ ? Lo has hecho tomando el producto cruzado de dos vectores no paralelos en ese plano. Es interesante que conocer sólo dos vectores en el plano sea suficiente para describir completamente cómo se encuentra el resto del plano en $\mathbb{R}^3$ ¡! (o más generalmente en $\mathbb{R}^n$ ). En el cálculo tres aprendiste que esto se debía a que dados dos vectores no paralelos en un plano, el vector obtenido al tomar su producto cruzado estará en la misma dirección, es decir, la dirección del vector normal de ese plano. Cuando llegues al álgebra lineal, aprenderás que otra razón por la que dos vectores no paralelos en un plano determinan completamente el plano: ¡¡¡El plano puede describirse explícitamente como el conjunto de todas las combinaciones lineales de esos dos vectores no paralelos!!!
Estas son algunas de las ideas más básicas en el tema del álgebra lineal. El álgebra lineal es la clase que me hizo cambiar de la carrera de física a la de matemáticas en su día. Estás haciendo las preguntas correctas, amigo. ¡Sigue así!
