Función continua de $ \Bbb Q \rightarrow \Bbb R $ , $ f = 1 $ para $x > \sqrt2$ y $ f = 0$ para $x < \sqrt2$

Question

No sé muy bien cómo abordar este problema.

Demuestra que $h : \Bbb Q \rightarrow \Bbb R $ con
$$ h(x)=\begin{cases} 0 &\text{for $|x|< \sqrt{2}$} \\ 1 &\text{for $|x|>\sqrt{2}$} \end{cases} $$ es una función continua.

Answer 1

Tenemos que demostrar que para cada punto $x_0 \in \mathbb{Q}$ y cada $\epsilon > 0$ hay un $\delta > 0$ tal que: $$|x_0-x| < \delta \implies |f(x_0) - f(x)| < \epsilon. $$

Es evidente que tenemos continuidad en todas partes. El único punto donde las cosas se ven mal es $\sqrt{2}$ pero esto no es un punto racional.

Una pista: Siempre puedes elegir algún $\delta$ tal que $\delta < |x_0 - \sqrt{2}|$ .