Suma de cuadrados

Question

Es sabido que para n=1,2,4,8 la suma de los cuadrados es multiplicativo. Véase, por ejemplo, "Ingenuo Mentira de la teoría de la" Stillwell una buena referencia. Resulta ser que estas identidades son el resultado de la existencia de Hypercomplex número de sistemas: Los reales, los números complejos, la quarternions, el octonions.

Ahora con el de cayley-dickson proceso se puede producir más de 2^k número de sistemas, el primero de los cuales el sedenions es de 16-dimensional. Hay un suma de los cuadrados de identidad para N=16, o para genereal 2^k?

Es decir, si a={suma de 16 plazas} y b={suma de 16 plazas} es ab={la suma de 16 plazas}?

Answer 1

Una suma de cuadrados identidad hace existen $N = 16$ y de hecho cuando $N$ es cualquier potencia de 2. $N$Igual a una potencia de 2 por ciento, el conjunto de distinto de cero sumas de cuadrados de $N$ en cualquier campo $F$ es un subgrupo de $F - \{0\}$.

Ver http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/pfister.pdf para más información y en particular, por qué esto no viola el teorema de Hurwitz.

Answer 2

Después de googlear algo más he encontrado que no solo hace la suma de cuadrados no existen para N = 16 y N = 2 ^ k, los valores sólo posibles son solo N = 1, 2, 4, 8

Este teorema, conocido como teorema de Hurwitz, fue un paso vital para la clasificación de las álgebras de división normados.

Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_division_algebra

EDIT: esto está mal, ver arriba.