Encontrar todos los ideales de $\mathbb{Z} [x]/(2, (x^3+1))$ ?

Question

Esto es de Dummit y Foote (Sección 9.2):

7. Determinar todos los ideales del anillo $\mathbb{Z} [x]/(2, (x^3+1))$ .

Este es mi intento de entender lo que está pasando:

Mi plan es encontrar una buena lista de cosets de $(2, x^3+1)$ y, con suerte, una vez que lo haga, podré decir a qué tipo de anillo bonito es isomorfo.

He escrito la definición: $(2, (x^3+1)) = \{2p_1(x) + p_2(x) (x^3+1) |p_1(x), p_2(x) \in \mathbb{Z} [x]\}$ . Sin embargo, no consigo hacerme a la idea de cómo es este ideal y cuáles son sus cosetas. Así que $2p_1(x)$ nos da todos los polinomios con coeficientes pares; $p_2(x) (x^3+1)$ nos da $some$ de los polinomios con algunos coeficientes de impar. Todos los polinomios de este término tendrán grado $\ge 3$ . Tendrán una raíz en $x = -1$ y también tienen $(x^2-x+1)$ como factor.

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Desde $$ \mathbb{Z}[x]/(2, (x^3+1))\cong \mathbb{F}_2[x] /(x^3+1) ,$$

y $$ x^3+1=(x+1)(x^2+x+1) $$

en $ \mathbb{F}_2[x] $ y $ (x^2+x+1) $ es un polinomio irreducible sobre $ \mathbb{F}_2 $ .

Además, cada ideal en $ \mathbb{F}_2[x] /(x^3+1) $ corresponde a un ideal $ I $ de $ \mathbb{F}_2[x] $ que contiene $ (x^3+1) $ . Es decir $$ (x^3+1)\subset I .$$ Desde $ \mathbb{F}_2[x] $ es un dominio ideal principal, podemos escribir $ I=(f(x)) $ , donde $ f(x)\in\mathbb{F}_2[x] $ . Por lo tanto, tenemos $$ (x^3+1)=(x+1)(x^2+x+1)\subset I=(f(x)) ,$$

lo que significa $$ f(x)|(x+1)(x^2+x+1) $$ en $ \mathbb{F}_2[x] $ .

Así que $ f(x)=1, (x+1), (x^2+x+1) $ o $(x^3+1) $ desde $ \mathbb{F}_2[x] $ es un dominio de factorización único. Y por el teorema correspondiente, los ideales en $ \mathbb{F}_2[x]/(x^3+1) $ son $ (x+1), (x^2+x+1), (0), (1) $ .