centrar dos variables X y Z hace que cov (X,XZ) = 0

Question

He leído que centrar dos variables normales (o simétricas) $X$ y $Z$ afecta a la correlación de los centrados $X$ con el término de interacción $X\cdot Z$ de tal manera, que esta correlación $cor(X-EX, X\cdot Z)$ es $0$ . No estoy seguro... (aquí utilizo el numerador de la correlación, que es la covarianza)

Cuando hago mis propios cálculos me quedo atascado aquí:

$cov(X,X\cdot Z) = E(X\cdot X \cdot Z) - E(X)\cdot E(X\cdot Z) = E(X^2\cdot Z) - E(X)\cdot E(X\cdot Z)$

porque sin ninguna información sobre la independencia entre $X$ y $Z$ se acabó. Aun sabiendo que estas dos variables son normales no me da nada. Al menos a mí :-) La independencia entre $X$ y $Z$ me daría sólo eso

$cov (X, X\cdot Z) = E(X^2)\cdot E(Z)-E(X)\cdot E(X)\cdot E(Z) = E(Z)\cdot var(X)$

No es $0$ . Pero el libro "dice" explícitamente:

$cov(X\cdot Z,X) = var(X)\cdot E(Z) + cov(X,Z)\cdot E(Z)$

Si $X$ y $Z$ están centrados, entonces $EX$ y $EZ$ son ambos cero, y la covarianza entre $X$ y $XZ$ también es cero. Por lo tanto, la correlación entre $X$ y $XZ$ también es cero. Lo mismo ocurre con la correlación entre $Z$ y $XZ$

Entonces, ¿me he perdido algo (y el libro tiene razón) o... mi pensamiento es correcto?

El libro es "Applied Multiple Regression/Correlation Analysis for the Behavioral Sciences" de Cohen, Cohen, Aiken, West.

Answer 1

Tiene razón. Como simple contraejemplo, considere las variables $X$ y $Z$ cuya distribución conjunta tiene probabilidad $1/2$ en $(X,Z)=(0,-1)$ y la probabilidad $1/4$ en cada uno de $(\pm 1, 1)$ . Por lo tanto, ambos $X$ y $Z$ se centran en $0$ incluso la media de $XZ$ es $0$ como puede comprobar fácilmente. La covarianza de $X$ y $XZ$ por lo tanto es la expectativa de su producto

$$\text{Cov}(X, XZ) = \mathbb{E}(X\cdot XZ) = \frac{1}{4}\left(1\right) + \frac{1}{2}\left(0\right)+\frac{1}{4}\left(1\right) = \frac{1}{2} \ne 0,$$

contradiciendo la afirmación.

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Los autores podrían haber tenido una distribución normal bivariada en mente. Esto tiene una simetría bivariada: después del centrado, la distribución de $(X,Z)$ es la misma que la distribución de $(-X,-Z)$ . Esta vez $$\text{Cov}(X, XZ) = \mathbb{E}(X\cdot XZ) = \mathbb{E}(-X\cdot (-X)(-Z)) = - \mathbb{E}(X\cdot XZ) = -\text{Cov}(X,XZ),$$

que sólo es posible cuando la covarianza es cero.