$R/AB$ reducido implica $A\cap B= AB$

Question

Me gustaría demostrar que si $A$ y $B$ son ideales en algún anillo $R$ y si $R/AB$ no tiene elementos nilpotentes, entonces $A\cap B=AB$ .

Ahora, $x\in AB\implies x=ab\implies x\in A$ y $x\in B$ como $A$ y $B$ son ideales. Tengo problemas con la otra dirección.

Supongamos que $x\in A\cap B$ y $x\notin AB$ . Supongo que $x^k+AB=AB$ para algunos $k\in \mathbb{Z}_{>0}$ pero tengo problemas para mostrarlo.

Cualquier ayuda sería estupenda.

Answer 1

Si $x \in A \cap B$ entonces $x^2 = xx \in AB$ Así que $(x+AB)^2 = AB \implies x \in AB$ por suposición.