¿Cuál es la norma que dice que $\int_{-2}^2 \frac{1}{x^2-4}\mathrm dx$ ¿diferencia?

Question

Problema

Calcular $\int\limits_{-2}^2 \frac{1}{x^2-4}\mathrm dx$ a menos que sea divergente.

Mi intento

He calculado la integral indefinida $$\int\frac{1}{x^2-4}\mathrm dx = \frac14\left( \ln(2-x) - \ln(2+x) \right) + C$$

y notar a partir de ahí que los límites de la integral provocarán $\ln(0)$ problemas.

Pregunta

A partir de esto decidí que la integral debe ser divergente, pero ¿se mantiene? ¿O hay alguna regla sencilla que me hubiera permitido concluir esto antes de calcular la integral indefinida?

Se agradece cualquier consejo.

Answer 1

Heurísticamente, podrías haber notado que $x^2-4$ tiene una pendiente finita no nula cerca de $x=2$ por lo que se comporta aproximadamente como $c(x-2)$ para algunos $c$ allí.

Por lo tanto, su recíproco divergirá en su mayoría de la misma manera que $\frac{1}{c(x-2)}$ y sabemos que la integral de ese tipo de funciones divergentes será a su vez divergente. (Esto sería en contraste con, por ejemplo, $c(2-x)^{-1/2}$ donde la propia función diverge pero el área por debajo de ella es finita).

Esto podría convertirse en una prueba más rigurosa comparando la integral de $\frac{1}{x^2-4}$ cerca de $x=2$ con la de $\frac{1}{k(x-2)}$ para un tamaño suficientemente grande $k$ que $|k(x-2)|>|x^2-4|$ en una vecindad perforada de $2$ . En este caso particular, probablemente no sea una gran mejora respecto a encontrar la integral indefinida completa, pero es valioso poder utilizar el razonamiento heurístico.

Answer 2

$\displaystyle \int\limits_{-a}^a\frac{dx}{x^2-4} = 2\int\limits_0^a\frac{dx}{x^2-4}=\frac{1}{4}\ln\frac{2-a}{2+a}$ con $0<a<2$ .

Luego vemos lo que sucede para $a\to 2^-$ .