Acción de $Aut(X)$ en $Coh(X)$

Question

Estaba leyendo sobre el teorema de reconstrucción de Bondal y Orlov. En particular que para una variedad lisa con haz canónico amplio o anti-amplio $\mathrm{Aut}(D^b(X)) \cong \mathbb{Z} \times (\mathrm{Pic}(X) \rtimes \mathrm{Aut}(X))$ . Esto me hizo preguntarme si dado un automorfismo $f$ de una variedad $X$ siempre puedo encontrar una gavilla coherente $\mathcal{F}$ tal que $f_* (\mathcal{F}) \ncong \mathcal{F}$ . ¿Es cierto? Intuitivamente me parece cierto, pero ¿cómo demostrarlo? Seguro que tengo que buscar algo más grande que los haces de líneas, ya que en el espacio proyectivo los haces de líneas se clasifican, hasta el isomorfismo, por grados.

Editar: para ver que ningún automorfismo no trivial actúa de forma no trivial podemos fijarnos en las gavillas de puntos del rascacielos. ¿Podemos decir algo en general sobre los haces vectoriales?

Answer 1

Si $f$ es la identidad, entonces por supuesto $f_*(\mathcal F)\cong \mathcal F$ . Por lo tanto, debe asumir que $f \neq \mathrm{id_X}$ . Pero entonces uno tiene que $f(P) \neq P$ para algunos $P \in X$ , en cuyo caso puede tomar $\mathcal F$ para ser el rascacielos en $P$ .