¿Hay alguna prueba/propiedad que se base en la distinción entre un tamaño incontable y un tamaño incontable mayor, para que la prueba/propiedad se mantenga?

Question

(Perdón si mi terminología es un poco imprecisa; estoy tratando de describir una noción bastante vaga en mi cabeza sobre cuándo algo "depende" de la distinción entre finito/contable/incontable, pero me resulta difícil expresarlo con precisión).

Hay pruebas o propiedades que sólo se mantienen cuando algo es finito, pero se rompen cuando se convierte en infinito. Por ejemplo, la intersección finita de conjuntos abiertos es abierta, pero no las intersecciones infinitas arbitrarias. Otro ejemplo, $ a_n>0 \ \forall n \in \mathbb{N} $ no implica $ \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n}>0 $ .

Del mismo modo, también hay pruebas o propiedades que sólo se mantienen cuando algo es contable. Por ejemplo, la inducción normal sólo puede utilizarse si la variable toma valores de un conjunto contable.

Me preguntaba si existen pruebas o propiedades comunes que se basen en una distinción similar entre algún tamaño incontable y otro tamaño incontable mayor. Por ejemplo, la propiedad X es verdadera si un conjunto S tiene un tamaño $\leq \aleph_n$ donde $n>0$ ?

(No estoy seguro de qué etiquetar; por favor, edite si es necesario :) )

Answer 1

Hay varias pruebas de existencia relativamente sencillas en el análisis que hacen uso de $c < 2^c.$

1. La "mayoría" de los conjuntos de medida cero de Lebesgue no son conjuntos de Borel, porque hay $2^c$ muchos conjuntos de medida cero de Lebesgue (considere todos los subconjuntos de un conjunto de medida cero de Cantor) y sólo hay $c$ muchos conjuntos de Borel.

2. La "mayoría" de las funciones integrables de Riemann no son medibles en Borel, porque la función característica de cualquier subconjunto de un conjunto de Cantor de medida cero es integrable de Riemann y sólo hay $c$ muchas funciones medibles de Borel.

3. La "mayoría" de las medidas completas de Borel en $\mathbb R$ no son $\sigma$ -finito. De hecho, hay $2^c$ muchas medidas completas de Borel en $\mathbb R$ y sólo $c$ muchos $\sigma$ -medidas de Borel finitas (completas o no completas) en ${\mathbb R}.$ Para ver la primera afirmación, dejemos $B$ sea un conjunto de Borel de cardinalidad $c$ (por ejemplo $B$ puede ser un conjunto de Cantor o el intervalo $[0,1]).$ Para cada $A \subseteq B,$ definir ${\mu}_A(E) = \infty$ si $A \cap E \neq \emptyset$ y ${\mu}_A(E) = 0$ si $A \cap E = \emptyset.$ Para ver la segunda afirmación, observe que toda medida de Borel finita sobre $\mathbb R$ es la medida de Lebesgue-Stieltjes de alguna función monótona, y sólo hay $c$ muchas funciones monótonas (varias formas de demostrarlo). Ahora observe que cada $\sigma$ -medida de Borel finita en $\mathbb R$ puede asociarse a una secuencia de medidas de Borel finitas sobre ${\mathbb R}.$ (Recordemos que sólo hay $c$ muchas secuencias cuyos términos provienen todos de un conjunto dado de cardinalidad $c.)$

4. "La mayoría de los subconjuntos convexos de ${\mathbb R}^2$ no son conjuntos de Borel, ya que al eliminar cualquier subconjunto de la frontera del disco unitario se obtiene un conjunto convexo y sólo hay $c$ muchos conjuntos de Borel. Obsérvese que esto falla para ${\mathbb R}.$

5. "La mayoría" de las funciones $f:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$ que son simétricamente continuas en cada punto (es decir, para cada $x \in \mathbb R$ tenemos $\lim_\limits{h\rightarrow 0}\ [f(x+h)-f(x-h)]=0)$ no son continuas, ni siquiera medibles en Borel. Miroslav Chlebík demostró en este 1991 Proc. AMS de 1991 que hay $2^c$ funciones simétricamente continuas, y sólo hay $c$ muchas funciones continuas (de hecho, sólo $c$ muchas funciones medibles de Borel).

6. "La mayoría" de los subconjuntos de la frontera del disco unitario no son un conjunto de divergencia para ninguna serie de potencias con coeficientes complejos y radio de convergencia $1,$ ya que hay $2^c$ muchos subconjuntos de la frontera del disco unitario y sólo $c$ muchas series de potencias con coeficientes complejos. Para más detalles sobre los posibles conjuntos de divergencia de una serie de potencias con coeficientes complejos, véase esta respuesta . Obsérvese la diferencia con las series de potencias con coeficientes reales, en las que sólo hay $2^2 = 4$ posibles subconjuntos del límite de un intervalo (sólo hay $4$ subconjuntos de un $2$ -) y no es difícil ver que cualquiera de estos subconjuntos puede ser un conjunto de divergencia.

Answer 2

Claro, una gran clase de ejemplos proviene del cálculo de la partición. Un resultado sencillo del tipo que tengo en mente es el siguiente: Cualquier grafo infinito contiene o bien una copia del grafo completo sobre un número contable de vértices o bien del grafo independiente sobre un número contable de vértices. Sin embargo, si queremos encontrar un incontable completo o independiente, no basta con que empecemos con un grafo incontable. En cambio, necesitamos uno de tamaño estrictamente mayor que el continuo.

Para una referencia enciclopédica sobre el cálculo de partición, incluido el resultado mencionado anteriormente, véase

MR0795592 (87g:04002) . Erdős, Paul; Hajnal, András; Máté, Attila; Rado, Richard. Teoría combinatoria de conjuntos: relaciones de partición para cardinales . Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas, 106. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984. 347 pp. ISBN: 0-444-86157-2.

Answer 3

Es no un teorema trivial, pero $(\ell^\infty)^*$ es el $\rm ba$ espacio cuya cardinalidad es $2^{2^{\aleph_0}}$ . La razón es que podemos identificar este espacio con medidas finitamente aditivas, y todo ultrafiltro sobre $\Bbb N$ induce dicha medida, y por un argumento bastante sencillo, hay $2^{2^{\aleph_0}}$ tales ultrafiltros. El límite superior se puede obtener observando que el dual algebraico, que es estrictamente mayor, tiene cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$ ya que la dimensión de $\ell^\infty$ como espacio lineal, es $2^{\aleph_0}$ .

Ahora bien, como $\ell^1$ es un espacio de Banach separable, su cardinalidad es sólo $2^{\aleph_0}$ . Esto da una prueba "rápida" de por qué $(\ell^\infty)^*\ncong\ell^1$ .