¿Cómo se resuelve la siguiente ecuación resoluble?

Question

La siguiente ecuación se puede resolver mediante radicales. Cómo obtener todas las raíces en términos de radicales?

$ x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$

La solución trascendental viene dada por

$ \cos(k\pi/13)+i\sin(k\pi/13)$ para $ k = 1, 2,\dots.,12$ . Sólo se acepta como respuesta una solución por radicales.

Answer 1

Dejemos que $\zeta = e^{2\pi i / 13}$ .

$(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^{\times}$ es cíclico de orden $12$ . Se obtiene algo cúbico sobre $\mathbb{Q}$ añadiendo $\zeta^k$ donde $k$ recorre el subgrupo de índice $3$ o sus cosets:

$$A := \zeta^1 + \zeta^5 + \zeta^8 + \zeta^{12}, \; B := \zeta^2 + \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{11}, \; C := \zeta^4 + \zeta^6 + \zeta^7 + \zeta^9$$ todos tienen un polinomio mínimo $X^3 + X^2 - 4X + 1$ por lo que se pueden expresar por radicales mediante la fórmula cúbica.

El siguiente paso es considerar las sumas de $\zeta^k$ donde $k$ recorre el subgrupo de índice $6$ y los cosets:

$$a = \zeta^1 + \zeta^{12}, \; b = \zeta^2 + \zeta^{11}, \; c = \zeta^3 + \zeta^{10},$$ $$d= \zeta^4 + \zeta^9, \; e = \zeta^5 + \zeta^8, \; f = \zeta^6 + \zeta^7.$$

Estos se determinan mediante las ecuaciones $$a + e = A, \; ae = C, \; b+c = B, \; bc = A, \; d+f = C, \; df = B$$ que son ecuaciones cuadráticas sobre $\mathbb{Q}(A,B,C)$ . Por ejemplo, se deduce que $$a = \frac{A \pm \sqrt{A^2 - 4C}}{2}.$$

Por último, una vez que sepa que $\zeta + \zeta^{12} = a$ y $\zeta \cdot \zeta^{12} = 1,$ puede resolver $$\zeta = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2} = \frac{a}{2} + i \sqrt{1 - a^2/4}.$$