¿Por qué $$\lim_{x\to 0^{-}} \mathrm {Im} \left( \ln\left(x\right) e^x\right)=\pi$$ Obviamente, esto no es una coincidencia. Estaba pensando que tal vez tenga que ver con la fórmula de Euler, pero no veo cómo influye el logaritmo. ¿Tiene esto que ver con la fórmula de Euler?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?$$\lim_{x \to 0^-}\ln x e^x \stackrel{e^x \to 1}{=}\lim_{x \to 0^-}\ln x = \lim_{x \to 0^+}\ln (-x) = \ln(-1) + \lim_{x \to 0^+}\ln (x) $$
La parte real de la expresión final es indefinida ( $\lim_{x \to 0^+}\ln (x) = -\infty$ ), y el valor imaginario depende de la rama considerada. La parte imaginaria del valor principal es $\pi$ (porque el valor principal de $\ln(-1) = i\pi$ ).
Para los valores de $x$ a lo largo del eje real negativo, podemos escribir $x=|x|e^{i(2\ell+1)\pi}$ para valores enteros de $\ell$ . Por lo tanto, el logaritmo multivalente viene dado por
$$\log x=\log (|x|e^{i(2\ell +1)\pi})=\log |x|+i (2\ell+1) \pi)$$
Finalmente,
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to 0^{-}} \text{Im}\left(\log(x) e^{x}\right)=(2\ell+1) \pi}$$
Si nos limitamos a la rama principal del logaritmo complejo, entonces
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to 0^{-}} \text{Im}\left(\log(x) e^{x}\right)=\pi}$$