Encuentra la solución entera de la ecuación $x^3+y^3=x^2+y^2+42xy$

Question

Encuentra la solución entera de la ecuación $x^3+y^3=x^2+y^2+42xy$

Intento $x=0$ Lo tenemos: $y^3-y^2=0 \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l} y=0 \\ y=1 \end{array}\right.$

Creo que, esta ecuación sólo $(x,y)\in$ { $(0,0),(0,1),(1,0)\}$ pero no puedo probarlo.

Answer 1

Con la ecuación

$$x^3 + y^3 = x^2 + y^2 + 42xy \tag{1}\label{eq1A}$$

ya ha manejado los casos de $x = 0$ o $y = 0$ . Para los casos no nulos, tener

$$\gcd(x,y) = d, \; x = de, \; y = df, \; \gcd(e, f) = 1 \tag{2}\label{eq2A}$$

Entonces \eqref {eq1A} se convierte en

$$\begin{equation}\begin{aligned} (de)^3 + (df)^3 & = (de)^2 + (df)^2 + 42(de)(df) \\ d^3(e^3 + f^3) & = d^2(e^2 + f^2 + 42ef) \\ d(e + f)(e^2 - ef + f^2) & = e^2 + f^2 + 42ef \end{aligned}\end{equation}\tag{3}\label{eq3A}$$

Esto demuestra que $e^2 - ef + f^2$ debe dividir el lado derecho, así que usando esto y $e^2 + f^2 \equiv ef \pmod{e^2 - ef + f^2}$ , da

$$e^2 + f^2 + 42ef \equiv ef + 42ef \equiv 43ef \pmod{e^2 - ef + f^2} \tag{4}\label{eq4A}$$

Debido a $\gcd(e,f) = 1 \implies \gcd(ef, e^2 - ef + f^2) = 1$ entonces

$$e^2 - ef + f^2 \mid 43 \tag{5}\label{eq5A}$$

Desde $d$ es el $\gcd$ Será positivo. Si ambos $e$ y $f$ son negativos, entonces no hay solución (ya que el lado izquierdo de \eqref {eq1A} será negativo y el lado derecho será positivo). Por lo tanto, o bien $e$ y $f$ son ambos positivos o uno es negativo siendo el otro positivo.

Cualquiera de los dos casos da $e^2 - ef + f^2 \gt 0$ por lo que, desde \eqref {eq5A}, esto significa $e^2 - ef + f^2 = 1$ o $e^2 - ef + f^2 = 43$ . Por ser igual a $1$ Debemos tener $e$ y $f$ siendo positivo y, dado que $e^2 - 2ef + f^2 = (e - f)^2 = 1 - ef \ge 0 \implies ef = 1$ entonces $e = f = 1$ es la única solución posible. Esto da en \eqref {eq3A}

$$d(1 + 1)(1 - 1 + 1) = 1 + 1 + 42 \implies d = 22 \tag{6}\label{eq6A}$$

Esto muestra $(x, y) = (22, 22)$ es una solución, ya que wimi La pregunta del Sr. G. de la Cruz es la siguiente comentario estados. A continuación, consideremos el otro caso de

$$e^2 - ef + f^2 = 43 \implies e^2 - (f)e + (f^2 - 43) = 0 \tag{7}\label{eq7A}$$

Tratamiento de $f$ como si fuera constante, entonces se resuelve para $e$ utilizando la fórmula cuadrática, da un discriminante de $f^2 - 4(f^2 - 43) = 172 - 3f^2$ que debe ser $\ge 0$ así que $\lvert f \rvert \le 7$ y es un cuadrado perfecto. Probando las distintas posibilidades de números enteros se observa que $f \in \{\pm 1, \pm 6, \pm 7\}$ . Utilizando estos valores para comprobar $e = \frac{f \pm \sqrt{172 - 3f^2}}{2}$ entonces $d$ de \eqref {eq3A} y $(x,y)$ de \eqref {eq2A} (que dejaré que tú hagas), da como resultado las restantes soluciones no nulas de $(x, y)$ son $\{(-6, 1)$ , $(1, -6)$ , $(1, 7)$ , $(7, 1)\}$ , ya que Christian Blatter La pregunta del Sr. G. de la Cruz es la siguiente comentario indica.

Answer 2

COMENTARIO.-Por $x=y$ uno tiene $2x^3=44x^2$ así que $x=0$ y $x=22$ . Además tenemos $(x+y)^3-3xy(x+y)=(x+y)^2+40xy\iff S^3-3SP=S^2+40P$ donde $S$ es la suma y $P$ es el producto. Tenga en cuenta que si $(x,y)$ es la solución también lo es $(y,x)$ .

Tenemos $S|40P$ y $P=\dfrac{S^3-S^2}{3S+40}$ . Consideramos en primer lugar $S|40$ así que $S=1,2,4,5,8,10,20,40$ .

$$S=1\Rightarrow 43P=0\Rightarrow (x,y)=(1,0)\\S=2\Rightarrow4=46P\\S=4\Rightarrow P=\frac{48}{52}\\S=5\Rightarrow P=\frac{100}{55}\\S=8\Rightarrow P=\frac{448}{64}=7\Rightarrow X^2-8X+7=0\Rightarrow (x,y)=(7,1)$$ $S=10,20,40$ da $P=\dfrac{900}{70},76,390$ respectivamente y los dos últimos enteros dan $x=10\pm\sqrt{24}$ y $x=20\pm\sqrt{10}$ Queda por ver otras posibilidades

Así hemos encontrado las soluciones $(0,0),(22,22),(1,0),(7,1)$ que han dado otros usuarios. La otra solución se da tomando $S=-5$ que da $P=\dfrac{-150}{25}=-6$ a partir de la cual la ecuación $X^2+5X-6=0$ así que $(x,y)=(-6,1)$ .

Aquí sólo queremos dar otra forma de cálculo.

Answer 3

Sin embargo, otra respuesta siguiendo las mismas líneas naturales.

Los casos en los que $x=0$ y/o $y=0$ están claros en el OP. Buscamos otras soluciones "nuevas".

Dejemos que $a=(x,y)$ sea el lcm de $x,y$ , tomada ahora para ser $\ge 1$ , por lo que podemos escribir y escribimos $x=aX$ , $y=aY$ con números enteros relativamente primos $X,Y$ . Entonces la ecuación dada es equivalente a: $$a(X+Y)(X^2-XY+Y^2) = X^2+42XY+Y^2\ .$$ Esto implica:

• $(X+Y)$ divide $40XY=(X^2+42XY+Y^2)-(X+Y)^2$ .

  Así que $\color{brown}{(X+Y)}$ divide $\color{brown}{40}$ .

• $(X^2-XY+Y^2)$ divide $43XY=(X^2+42XY+Y^2)-(X^2-XY+Y^2)$ .

  Así que $\color{brown}{(X^2-XY+Y^2)}$ divide $\color{brown}{43}$ .

(Si un primo $p$ divide $(X+Y)$ y $XY$ , entonces se divide o bien $X$ o $Y$ , posiblemente intercambiando notaciones dejemos $p$ dividir $X$ El $p$ divide también $(X+Y)-X=Y$ Así que $p$ divide el lcm $(X,Y)=1$ contradicción. El otro caso es similar).

A partir de aquí, hay que comprobar algunos casos:

• $X+Y=d\in\{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 5,\pm 8,\pm 10,\pm 20,\pm 40\}$ y
• $X^2-XY+Y^2\in\{1,43\}$ .

La primera restricción nos permite linealmente sustituto $Y$ en términos de $X$ . La sustitución $Y=d-X$ insertado en la segunda restricción da como resultado $3X^2-3dX+d^2\in\{1,43\}$ . obteniendo así algunas ecuaciones de segundo grado en $X$ de la forma: $$\begin{aligned} 3X^2 - 3dX + (d^2-1) &=0\ ,\\ 3X^2 - 3dX + (d^2-43) &=0\ . \end{aligned}$$ Obtenemos $(X,Y)$ -si el discriminante es un cuadrado. Por tanto, o bien $(4-d^2)$ o $(172-d^2)$ es un cuadrado.

Sólo los valores $d=\pm 1$ y $d=\pm 2$ hacen que la primera expresión ( $1^2$ y $0^2$ ) un cuadrado.

Sólo los valores $d=\pm 5$ y $d=\pm 8$ hacer que la segunda expresión ( $7^2$ y $6^2$ ) un cuadrado.

Podemos asumir y asumimos $d>0$ (posiblemente ahora cambie $a$ en $-a$ ), ya que al pasar de $d$ a $-d$ significa sustituir $(X,Y)$ por $(-X,-Y)$ (y $a$ por $-a$ ), lo que conduce finalmente a la misma solución final.

Aquí se muestran explícitamente estos cuatro casos y las cuatro soluciones finales.

• $d=1$ :: El caso correspondiente es $Y=1-X$ con $3X^2-3X+1=1$ . Así que $X\in\{0,1\}$ . No hay soluciones "nuevas".
• $d=2$ :: El caso correspondiente es $Y=2-X$ con $3X^2-6X+4=1$ . Así que $X=1=Y$ . La nueva solución es $(X,Y)=(1,1)$ . Lleva a $a=(1+42+1)/(1+1)=22$ y a la correspondiente solución final $\color{blue}{(x,y)=(22,22)}$ .
• $d=5$ :: El caso correspondiente es $Y=5-X$ con $3X^2-15X+25=43$ . Las nuevas soluciones son $(X,Y)=(6,-1)$ y $(X,Y)=(-1,6)$ . El valor correspondiente de $a$ es $(36-6\cdot 42+1)/(216-1)=-1$ . Así que las soluciones finales son $\color{blue}{(x,y)=(-6,1)}$ y $\color{blue}{(x,y)=(1,-6)}$ .
• $d=8$ :: El caso correspondiente es $Y=8-X$ con $3X^2-24X+64=43$ . Las nuevas soluciones son $(X,Y)=(7,1)$ y $(X,Y)=(1,7)$ . El valor correspondiente de $a$ es $(49+7\cdot 42+1)/(343+1)=1$ , lo que lleva a los ejemplares $\color{blue}{(x,y)=(7,1)}$ y $\color{blue}{(x,y)=(1,7)}$ .