Probar la continuación analítica, elegir los cortes de rama adecuados,

Question

Considere la función $$f(z)=\log[(z^2+1)^{1/2}],\quad z>0$$

donde la rama se elige de manera que $(z^2+1)^{1/2}>0$ para $z>0$ y el logaritmo denota la rama principal. Sea $R$ sea la unión del eje real negativo y el intervalo vertical $\{i\gamma:-1\le \gamma \le 1\}$ .

Demostrar que $f(z)$ tiene una continuación analítica en el complemento de R y calcula

$$\lim f(\epsilon), \lim f(\epsilon e^{(i3\pi)/4}), \lim f(\epsilon e^{(-i3\pi)/4})$$

como $\epsilon\to 0$ .

Cualquier ayuda será muy apreciada. Este problema es un poco más allá de mí, así que ni siquiera sé cómo empezar, aparte de escribir algunas cosas obvias del problema como:

$$(z^2+1)^{1/2}=(z+i)^{1/2} (z-i)^{1/2},$$ donde $z^2$ se define como $e^{2\log(z)}$

y que la rama principal de $\log(z)$ es analítica lejos del eje real negativo, cuando restringimos el argumento de $\log(z)$ a ( $-\pi \le \theta \ <\pi$ ).

Edición: Una pregunta más específica que tengo es:

¿Por qué es necesaria una extensión analítica para $f(z)$ ? ¿No es la función ya analítica lejos del eje real negativo, y por lo tanto debería ser analítica al complemento de R, que es sólo el plano entero menos el eje real negativo y el intervalo del eje imaginario de $-i$ a $i$ .

¿Es porque, además de la rama principal de $\log(z)$ que ya está elegida para nosotros, tenemos que elegir también dos ramas más de $\log(z)$ - una rama para $(z+i)^{1/2}$ y una rama para $(z+i)^{1/2}$ ?

Answer 1

Creo que el término "continuación analítica" se refiere aquí a la posibilidad de un valor único continuación analítica de la función en el dominio dado, partiendo, por ejemplo, de una vecindad de $z=1$ .

La función $\log((z^2+1)^{1/2})$ se puede continuar analíticamente a lo largo de cualquier camino $\gamma$ en $\mathbb C\setminus \{i,-i\}$ (por definición, comencemos cada camino en $1$ ). Sin embargo, el resultado de la continuación depende del camino recorrido, no sólo del punto final: si $\gamma$ vientos alrededor $i$ o $-i$ Esto cambia el valor de la función. Pero en un simplemente conectado Este problema no se plantearía; el corte del plano a lo largo de $[-i,i]$ y luego a lo largo de $(-\infty,0]$ es una forma de obtener un dominio simplemente conectado que no contenga $\pm i$ . Sea $\Omega$ sea este dominio.

Otra forma de ver lo que ocurre es estudiar el mapa $w=(z^2+1)^{1/2}$ . Mapea la mitad superior de $\Omega$ conformemente en el semiplano superior; por reflexión a través de $(1,\infty)$ también mapea la mitad inferior de $\Omega$ en el semiplano inferior. Por lo tanto, la imagen de $\Omega$ bajo este mapa es $\mathbb C\setminus (-\infty,1]$ . Entonces se toma la rama principal del logaritmo allí.

En cuanto a los tres límites mencionados: las imágenes en el $w$ -puede describirse como $w=1+\epsilon$ , $w=-1+i\epsilon$ y $w=-1-i\epsilon$ . Con esto no me refiero a la correspondencia de puntos ( $\epsilon$ no tienen por qué ser iguales), sino la correspondencia de las direcciones de aproximación a los puntos límite. El término técnico es fin primordial . Estas tres direcciones de aproximación producen tres valores diferentes de logaritmo.