Aplicación de Taylor ' s teorema en teoría del número

Question

Estoy trabajando a través de Alan Baker libro Una Concisa Introducción a la Teoría de los Números, y hay una afirmación que me confunde. He aquí la cita:

Es fácil ver que no polinomio $f(n)$ con coeficientes enteros puede ser la mejor para todos los $n$ $\mathbb{N}$ o, incluso, para todos lo suficientemente grande $n$, a menos que $f$ es constante. De hecho, Taylor teorema, $f(mf(n)+n)$ es divisible por $f(n)$ todos los $m$ $\mathbb{N}$

Cómo es esta una aplicación de Taylor teorema? Es totalmente un misterio para mí. Gracias de antemano por cualquier idea sobre esto.

Answer 1

Por Teorema de Tayor

$$f(x) = f(n) + f'(n)(x-n) + \frac{f''(n)}{2!}(x-n)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(n)}{k!}(x-n)^k + h_k(x)(x-n)^k$$

Ahora tome $k$ suficientemente grande para que $h_k(x)=0$ (posible puesto que $f$ es un polinomio).

Por lo tanto

$$f(x) = f(n) + f'(n)(x-n) + \frac{f''(n)}{2!}(x-n)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(n)}{k!}(x-n)^k$$

Ahora conecte $mf(n)+n$ $x$. Se obtiene un $f(n)$ en cada término.

Answer 2

${\rm mod}\ \color{#c00}{f(n)}\!:\,\ f(m\color{#c00}{f(n)}+n)\equiv f(\color{#c00}0+n)\equiv 0\,\ $ por el Polinomio de la Congruencia de la Regla.

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Comentario $\ $ de Las cantidades anteriores a usar sólo los dos primeros términos de la serie de Taylor, y esto equivale a utilizar el Teorema de Factor, a saber,

$$\begin{align} f(x)\, &=\, f(n)\, +\, (x\!-\!n)(f'(n) +\, \cdots),\ \ \ \text{Taylor series at }\ x=n\\[4pt] \Rightarrow\quad\ \, f(x)\, &=\, f(n)\, +\, (x\!-\!n)\, g(x)\ \text{ for some }\ g(x)\in \Bbb Z[x]\\[4pt] \Rightarrow\ \ m f(n)\, &=\, \underbrace{x\!-\!n\mid f(x)-f(n)}_{\rm Factor\ Theorem}\,\Rightarrow\, f(n)\mid f(x)\ \ {\rm for}\ \ x = mf(n)\!+\!n\end{align}\qquad$$

Pero, por supuesto, es un poco excesivo para el uso del Teorema de Taylor para obtener el Teorema de Factor. Y el Factor Teorema es un caso especial del Polinomio de la Congruencia de la Regla tal como se dijo anteriormente, es decir,

${\rm mod}\ x\!-\!n\!:\,\ \color{#c00}{x\equiv n}\ \Rightarrow\, f(\color{#c00}x)\equiv f(\color{#c00}n)\,\ $ por el Polinomio de la Congruencia de la Regla.

Ver aquí para más discusión del Teorema de Factor de congruencia punto de vista.