Mejor comprensión de la topología en ://math.stackexchange.com/q/3195705/506847.

Question

Ler $ (\mathbb{N^{*}}, T) $ sea un espacio topológico de Demostrar que existe una topología única $T$ para lo cual $ P $ es su subbase y ese espacio topológico $ ( T, \mathbb{N ^{*}})$ es metrizable . . Encuentra el interior, el cierre, los puntos de acumulación y los bordes de: $$ A = \left\{\infty\right\}$$ $$ B = \left\{2, \infty\right\} $$ $$C= \mathbb{N} $$ $$D= \left\{2n \colon n \in \mathbb{N}\right\} $$

Tengo problemas para entender la topología, así que cualquier pista sería de ayuda. Todo lo que he conseguido deducir es que los conjuntos $\left\{ n \right\} $ están abiertos y que $\left\{\infty\right\}$ no es porque siempre hay muchos más elementos en las bases que lo contienen.

Answer 1

La topología se conoce a menudo como compactación de un punto de $\Bbb N.$ Dado un conjunto $U\subseteq\Bbb N^*,$ tenemos que $U$ es abierta si y sólo si se cumple una de las siguientes condiciones:

• $U\subseteq\Bbb N$
• $\Bbb N^*\setminus U$ es un subconjunto cerrado y compacto (es decir, finito) de $\Bbb N$

Así, dado un conjunto $K\subseteq\Bbb N^*,$ tenemos que $K$ es cerrado si y sólo si se cumple una de las siguientes condiciones:

• $\infty\in K$
• $K$ es un subconjunto finito de $\Bbb N$

En consecuencia, dos de sus conjuntos están abiertos (y no cerrados), y dos de ellos están cerrados (y no abiertos). A partir de ahí, los interiores y los cierres (y, por tanto, las fronteras) son bastante sencillos de encontrar. En cuanto a los puntos de acumulación, el hecho de que $\{n\}$ está abierto para todos $n\in\Bbb N$ significa que ningún elemento de $\Bbb N$ puede ser un punto de acumulación de cualquier subconjunto de $\Bbb N^*.$ Sin embargo, $\infty$ será un punto de acumulación para dos de sus conjuntos.

Avísame si te cuesta entender algún detalle, o si simplemente quieres confirmar tus conclusiones.