En la teoría de Morse "vainilla", se pueden construir ciclos que representen clases de homología integral de una variedad suave a partir de una función de Morse en la variedad (observando el flujo de entrada/salida de los puntos críticos y pegando/compactando adecuadamente). ¿Se ha demostrado algo similar para la teoría de Morse discreta?
Respuestas
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En la sección 11 de este documento Demuestro que una función de Morse discreta en un complejo simplicial conduce a una descripción dinámica de la teoría de Forman. Más concretamente, existe un flujo canónico asociado a la función, de modo que las caras (abiertas) de la subdivisión baricéntrica son conjuntos invariantes. Los puntos estacionarios de este flujo son los baricentros del complejo simplicial original.
La función de Morse discreta define una función continua en el espacio topológico definido por el complejo simplicial que es afín en las caras de la subdivisión baricéntrica y es una función de Lyapunov para el flujo anterior, es decir, decrece a lo largo de las trayectorias del flujo.
La propiedad clave del flujo, en cuanto a su conexión con la teoría de Forman, es la siguiente: un baricentro de una cara $F$ es decir, un punto estacionario del flujo, tiene un índice de Conley no trivial si y sólo si la cara correspondiente es crítica en el sentido de Forman. La variedad inestable de este punto es el interior de la cara $F$ y el índice de Conley (homotópico) es el tipo de homotopía del par $[F,\partial F]$ . Vemos que esto es lo mismo que el tipo de homotopía de una esfera puntiaguda de la misma dimensión que $F$ .
Utilizando la tecnología de flujo de volumen finito de Harvey-Lawson se puede entonces obtener una homotopía de cadena desde el complejo de cadena simplicial al complejo de Forman.
PBR
Puntos
36
La respuesta a su pregunta es no .
Lo que la teoría de Morse discreta te da, partiendo de un complejo CW regular finito $X$ y una función Morse discreta $f:X \to \mathbb{R}$ (con campo vectorial discreto $V$ ) es un complejo en cadena generado por las células críticas
$$ \cdots \stackrel{\partial_{k+1}}{\longrightarrow} M_k \stackrel{\partial_k}{\longrightarrow} M_{k-1} \stackrel{\partial_{k-1}}{\longrightarrow} \cdots \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} M_0$$
cuya homología es isomorfa a la de $X$ a través de un mapa en cadena $\phi:(X,d) \to (M,\partial)$ que viene dado por $\phi = (1 + dV + Vd)^N$ para algunos convenientemente enormes $N$ . Ahora bien, si todos los $\partial_*$ son triviales (es decir, si se tiene la llamada función Morse perfecta), entonces todo está bien: los generadores de homología aquí son sólo las propias cadenas, y en la sección 7 del documento original
R Forman, Morse theory for cell complexes, Adv. Math 90-145, 1998
Forman muestra que $M_k$ consiste precisamente en el $\phi$ -invariante $k$ -cadenas dimensionales en $X$ . No hay ninguna receta directa, que yo sepa, para generar clases de equivalencia de $\phi$ -que representan la misma clase de homología integral en $X$ cuando los operadores fronterizos $\partial_*$ terminan siendo no triviales.
