¿Cómo evaluar una integral doble con dos funciones de Dirac?

Question

Aquí tengo un problema, ¿la solución es la misma si integro cada una? parte por parte?

$$\int_0^Te^{-(s+\mu\lambda^2 ) t} \int_0^l\left[\delta(x-R)\delta(t-tj)\varphi(x) \, dx\, dt\right]$$

Ya he integrado pero no estoy seguro del resultado, me gustaría corroborarlo.

Answer 1

Separando adecuadamente sus variables, tenemos

$$\int_0^T \delta(t-t_j)e^{-(s+\mu\lambda^2)t}\,dt\int_0^l \delta(x-R)\varphi(x)\,dx.$$

Desde $0 < R < l$ la propiedad de cribado de la delta de Dirac nos da $\varphi(R)$ para la segunda integral. La primera es muy similar ya que $0 < t_j < T$ .