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Descomposición en fracción parcial de una función racional complicada

Halla la descomposición en fracciones parciales de la función racional $\displaystyle \frac{2x^3+7x+5}{(x^2+x+2)(x^2+1)}$

He intentado dividir primero pero sigo encontrando problema tras problema, por favor ayuda.

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vesofilev Puntos 104

Intente escribir su fracción como una suma de $\frac{A_0+A_1 x}{x^2+1}+\frac{B_0+B_1 x}{x^2+x+2}$ y luego encontrar $A_0,A_1$ y $B_0,B_1$ equiparando $(A_0+A_1 x) (x^2+x+2)+(B_0+B_1 x)(x^2+1) = 2x^3+7x+5$

La respuesta final debería ser

$\frac{2x^3+7x+5}{(x^2+x+2)(x^2+1)}=\frac{5}{x^2+1}+\frac{2x-5}{2 + x + x^2}$

Espero que eso ayude.

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Kf-Sansoo Puntos 43568

Paso 1 : Encontrar $a, b, c, d$ tal que: $\dfrac{2x^3 + 7x + 5}{(x^2 + x + 2)(x^2 + 1)} = \dfrac{ax + b}{x^2 + x + 2} + \dfrac{cx + d}{x^2 + 1}$

Paso 2: Vuelve a escribir: $\dfrac{ax + b}{x^2 + x + 2} + \dfrac{cx+d}{x^2 + 1} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a(2x+1)}{x^2 + x + 2} + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2b - a}{(x + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} + \dfrac{c}{2}\cdot \dfrac{2x}{x^2 + 1} + d\cdot\dfrac{1}{x^2+1}$ .

Paso 3: Haz la sustitución correcta y completa la respuesta.

0voto

Joe Gauterin Puntos 9526

De hecho, puede hacerlo mediante una inspección. $$2x^3+7x+5 = 2x(x^2+1)+5(x+1) = 2x(x^2+1)+5((x^2+x+2)-(x^2+1))\\ \implies \frac{2x^3+7x+5}{(x^2+x+2)(x^2+1)} = \frac{2x-5}{x^2+x+2}+ \frac{5}{x^2+1} $$ La clave es buscar factores en el denominador que "maten" la mayor potencia en el numerador y repetir este proceso con lo que queda. Cuando el denominador contiene más de un factor, otro truco es buscar diferencias de factores que tengan los mismos términos principales.

  • $\displaystyle x+1 = (x^2+x+2) - (x^2+1)\;\;$ en la expansión anterior.
  • $\displaystyle \frac{1}{n^2(n+1)} = \left(\frac{1}{n(n+1)}\right)\frac{1}{n} = \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}$

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