Esto es Vakil 18,6 M , el autoaprendizaje.
Debemos demostrar que un grado integral $d$ curva $C$ en $\mathbb P^N_k$ (con $N \geq d$ y $k$ WLOG algebraicamente cerrado) está contenido en un "lineal $\mathbb P^d_k \subset \mathbb P^N_k$ ."
Hasta ahora veo que si se toma un hiperplano $H$ en $\mathbb P^N_k$ intersección de $C$ pero que no lo contiene, entonces por el Teorema de Bezout (18.6 K en Vakil),
$$\deg C \cap H = \deg C \deg H = d$$
donde el grado indica el coeficiente principal del polinomio de Hilbert veces $n!$ , donde $n$ es la dimensión del espacio. El problema es que no veo qué nos dice esto geométricamente. Puedo ver el coeficiente principal del polinomio de Hilbert de $C \cap H$ debe haber sido $d$ para empezar, pero esto parece puramente formal.
He estudiado ambas respuestas aquí Pero no hemos cubierto la posición general (el contenido de la primera respuesta), y no sigo la conclusión de la segunda respuesta, además de que no parece utilizar el Teorema de Bezout, al menos como lo hemos cubierto. Sospecho que ninguna de las dos respuestas es la que busca Vakil, y que simplemente me falta alguna realización geométrica sobre el grado que convierta rápidamente lo que he hecho hasta ahora en una respuesta.
Por "un lineal $\mathbb P^d_k$ " Supongo que Vakil se refiere a un espacio lineal de dimensión $d$ en $\mathbb P^N_k$ es decir, un subesquema cerrado cortado por $N - d$ polinomios lineales homogéneos linealmente independientes.
