Si S es un subconjunto cerrado no vacío bajo la multiplicación de G, demuestre que S es un subgrupo de G

Question

G es un grupo y S es un subconjunto finito no vacío y cerrado bajo la multiplicación. Demostrar que S es un subgrupo de G.

Mi intento

Sea S igual a $\{a_1,a_2.....a_n$ } y que se ordene de tal manera que $ a_1a_2.....a_n = a_1$ . Multiplicando ambos lados por $a^{-1})$ obtenemos $a_2.....a_n = e$ .

Así, eS.

$(a_2.....a_n)^{-1}$ = e

$a_n^{-1}.....a_2^{-1}$ = e

Podemos demostrar que cualquier $a_k^{-1}$ entre $a_n^{-1}$ y $a_2^{-1}$ es un elemento de S multiplicando por $a_n^{}$ , $a_{n-1}$ .... hasta llegar a $a_{k}$ . Podemos hacer lo mismo desde la derecha empezando por $a_2$ .

Aquí es donde estoy atascado. He demostrado que los inversos de todos los elementos de S existen en S excepto $a_1$ . Se agradecería cualquier ayuda sobre cómo probarlo.

Además, como soy nuevo en el álgebra, no sé si el método de multiplicar por la izquierda y por la derecha hasta llegar a $a_k$ es formalmente correcto o no. Así que una manera más formal de afirmar lo mismo también sería realmente apreciada.

Answer 1

Sólo tiene que demostrar que $S$ es cerrado bajo inversiones (entonces $1=aa^{-1}$ para cualquier $a\in S$ ). Por lo tanto, dejemos que $a\in S$ . Considere los elementos $a,a^2,a^3,\dots\in S$ desde $S$ es finita, esta secuencia tiene que repetirse en algún momento, digamos $a^n=a^m$ con $n<m$ . Pero entonces $1=a^{m-n}$ (multiplicando ambos lados por $a^{-n}$ ), por lo que $a^{m-n-1}$ es la inversa de $a$ y se encuentra en $S$ (tenga en cuenta que si $m-n-1=0$ entonces $1=a^{m-n}=a$ ).

En cuanto a su prueba: No es en absoluto obvio que exista un ordenamiento tal que $a_1a_2\dots a_n=a_1$ .