Supongamos que $m$ > $1$ es un número entero, y $p$ y $r$ son primos tales que $r$ divide $p^{m}-1$ pero $r$ no divide $p^k-1$ para $1$$ \N - La vida en el mundo de los negocios $ $ k $ <$ m $. Show that $ GL_m $$($$ p $$)$ tiene un subgrupo cíclico irreducible de orden $r$ . (Un teorema de K. Zsigmondy muestra que un primo $r$ que satisface estas condiciones existe para todo $p$ y $m$ excepto en el caso de $p$ = $3$ y $m$ = $2$ ). No tengo ni idea de cómo resolver este ejercicio. Se agradece cualquier tipo de sugerencia. Gracias a todos por la ayuda.
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$\newcommand{\Size}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$$ |DeclareMathOperator{{GL}{GL} $Let $ E $ be the field with $ p^{m} $ elements. This can be regarded as an $ m $-dimensional vector space over the field $ F $ with $ p$ elementos.
El grupo multiplicativo de $E$ es cíclico, de orden $p^{m} - 1$ . Desde $r \mid p^{m} - 1$ hay un elemento $\alpha$ de orden multiplicativo $r$ en $E$ . Esto induce por multiplicación en $E$ un elemento de $\GL(m, p)$ de orden $r$ .
Tenga en cuenta que $\alpha$ envía $0$ a $0$ e induce ciclos de longitud $r$ en los elementos no nulos de $E$ ya que actúa por multiplicación.
Para demostrar que $\langle \alpha \rangle$ es irreducible, supongamos por contradicción que existe un subespacio $U \subseteq E$ de dimensión $k < m$ en el que $\alpha$ actos. Entonces $\alpha$ induce un elemento de orden $r$ de $\GL(k, p)$ . Pero $$ \Size{\GL(k, p) } = (p^{k} - 1) (p^{k} - p) \cdots (p^{k} - p^{k-1}) = p^{\text{something}} (p^{k} - 1) (p^{k-1} - 1) \cdots (p - 1). $$ Esto es imposible, ya que por suposición $r$ no divide ninguno de estos factores.
