Cómo probar $\sum_{n=1}^\infty$ $\frac{1}{\sqrt{n}} \tan(\frac{1}{n})$ es finito. Lo he intentado mucho. Pero no puedo. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?
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ajotatxe
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Para que sea lo suficientemente grande $n$ ,
$$\frac1{\sqrt n}\tan \left(\frac1n\right)\le\frac1{\sqrt n}\cdot\frac2n$$
Respuesta al comentario del OP : Desde $$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}x=1$$ hay algo de $n_0\in\Bbb N$ tal que para $n\ge n_0$ $$\frac{\tan\left(\cfrac1n\right)}{\cfrac 1n}<2$$ y por lo tanto, $$\tan\left(\cfrac1n\right)<\frac2n$$
Dr. MV
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He pensado que podría ser interesante proceder utilizando los límites trigonométricos introducidos en la geometría elemental. Con ese fin, procedemos ahora.
Nota de los límites elementales, $\sin(1/n)\le 1/n$ y $\cos(1/n)\ge \sqrt{1-(1/n)^2}$ tenemos para $n\ge 2$
$$0\le \frac{\tan(1/n)}{\sqrt n}\le \frac{1}{\sqrt n \sqrt{n^2-1}}$$
Además, para $n\ge 2$ , $n^2-1\ge \frac34 n^2$ . Por lo tanto, tenemos para $n\ge 2$
$$0\le \frac{\tan(1/n)}{\sqrt n}\le \frac{2}{n^{3/2}}$$
¡Y ya está!
zhw.
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Si $f:[0,1]\to \mathbb R,$ $f(0)=0$ y $f'(0)$ existe, entonces
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt n}f(1/n)$$
es absolutamente convergente. La prueba se desprende de la aplicación de la definición de la derivada para ver $|f(x)|\le Cx$ para los pequeños positivos $x.$ Por lo tanto, $|f(1/n)| \le C/n$ para grandes $n,$ y para estos $n$ los términos de la serie están limitados por $Cn^{-3/2}$ en valor absoluto.
Anthony Shaw
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Una pista: Para $0\le x\le1$ , $$ \begin{align} \arctan(x) &=\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}\\ &\ge\frac{x}2 \end{align} $$ Por lo tanto, para $0\le x\le\frac\pi4$ , $$ \tan(x)\le2x $$
Otro enfoque es observar que para $0\le x\le\frac\pi3$ , $\cos(x)\ge\frac12$ . Por lo tanto, $$ \begin{align} \tan(x) &=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\\ &\le2\sin(x)\\[6pt] &\le2x \end{align} $$
