La verdad es que no sé mucho de este tema pero me preguntaba si el producto de un número trascendental por un entero es trascendental?
Respuestas
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El producto de un número trascendental por un número algebraico no nulo es necesariamente trascendental (como el cociente de dos números algebraicos es algebraico). Para demostrar el caso de que un número algebraico dividido por un número entero no nulo es algebraico (como en la pregunta revisada), si $x$ satisface $\alpha_kx^k + \ldots + a_0 = 0$ entonces $y = x/n$ satisface $n^k\alpha_k y^k + n^{k-1}\alpha_{k-1}y^{k-1} + \ldots + n\alpha_1 y + \alpha_0 = 0$ .
Sin embargo, el producto de dos números trascendentales puede ser fácilmente algebraico. Como sugiere zarathustra en los comentarios, $e \times 1/e= 1$ .
pyrazolam
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ksantas
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Un número trascendental es un número real o complejo que no es algebraico, es decir, no es una raíz de una ecuación polinómica no nula con coeficientes racionales. Los ejemplos más destacados de números trascendentales son $\pi$ y $e$ . Aunque sólo se conocen unas pocas clases de números trascendentales (en parte porque puede ser extremadamente difícil demostrar que un número dado es trascendental), los números trascendentales no son raros. De hecho, casi todos los números reales y complejos son trascendentales, ya que los números algebraicos son contables mientras que los conjuntos de números reales y complejos son incontables. Todos los números trascendentales reales son irracionales, ya que todos los números racionales son algebraicos. Lo contrario no es cierto: no todos los números irracionales son trascendentales; por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es irracional pero no es un número trascendental, ya que es una solución de la ecuación polinómica $x^2 − 2 = 0$ . Ningún número racional es trascendental y todos los números trascendentales reales son irracionales. Un número racional se puede escribir como $p/q$ donde p y q son números enteros. Por lo tanto, $p/q$ es la raíz de $qx − p = 0$ . Sin embargo, algunos números irracionales no son trascendentales. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es irracional y no trascendental (porque es una solución de la ecuación polinómica $x^2 − 2 = 0$ ). Lo mismo ocurre con la raíz cuadrada de otros cuadrados no perfectos.
$sin(a), cos(a)$ y $tan(a)$ y sus inversos multiplicativos $csc(a), sec(a)$ y $cot(a)$ para cualquier número algebraico no nulo a (por el teorema de Lindemann-Weierstrass).
$ln(a)$ si a es algebraico y no es igual a 0 o 1, para cualquier rama de la función logaritmo (por el teorema de Lindemann-Weierstrass).
Busca más a ''Baker, Alan (1975). Transcendental Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20461-5. Zbl 0297.10013''.
