Número de elementos en el anillo de cociente $ \mathbb {Z}[X]/(X^2-3, 2X+4)$

Question

Tuve que calcular el número de elementos de este anillo de cociente: $$R = \mathbb {Z}[X]/(X^2-3, 2X+4).$$

Esto es lo que he conseguido por mí mismo y usando una fuente de Internet:

Escribir el anillo $R = \mathbb {Z}[X]/(X^2−3, 2X+4)$ como $ \mathbb {Z}[X]/I$ observamos que $I $ contiene $2(X^2−3)−(X−2)(2X+4) = 2$ . Entonces observamos que el generador $2X + 4$ es en realidad superfluo ya que $2X + 4 = 2(X + 2)$ .

Ahora podemos escribir $R = \mathbb {Z}[X]/(X^2 − 3, 2) = \mathbb {Z}[x]/((X+1)^2, 2)$ porque $(X+1)^2=X^2+2X+1=X^2-3+2X+4$ . La fuente de Internet afirma ahora lo siguiente:

$$ R \cong ( \mathbb {Z}/2 \mathbb {Z})[ \alpha ] \quad \text {with} \quad \alpha = X+1$$ Supongo que $ \mathbb {Z}/2 \mathbb {Z}[ \alpha ]$ representa el conjunto de números duales del campo $ \mathbb {Z}/2 \mathbb {Z}$ . Ya veo. $ \alpha ^2=0$ pero ¿qué implica exactamente el isomorfismo? ¿Y esto significa que el anillo de cociente $R$ contiene cuatro elementos?

Si es necesario, puedes tomarlo en el sitio que yo usé. (Se trata de la página 5, ejercicio 4.3a.) http://www.math.umn.edu/~musiker/5286H/Sol1.pdf

Le agradezco de antemano sus respuestas.

Answer 1

He aquí un enfoque alternativo. Recuerde que para los ideales $I,J \trianglelefteq R$ tenemos $R/(I+J) \cong (R/I)/\overline{J}$ donde $\overline{J}$ denota la incrustación de $J$ en $R/I$ .

En este caso tenemos $\mathbb{Z}[X]/(X^2-3,2X+4) \cong (\mathbb{Z}[X]/(X^2-3))/(2 \overline{X}+4) \cong \mathbb{Z}[\sqrt{3}]/(2 (\sqrt{3}+2))$ . En $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ el elemento $2+\sqrt{3}$ es una unidad (con inversa $2-\sqrt{3}$ ), por lo que $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]/(2 (\sqrt{3}+2)) = \mathbb{Z}[\sqrt{3}]/(2) \cong \mathbb{Z}[X]/(X^2-3,2) \cong \mathbb{F}_2[X]/(X^2+1)$ .

Este último es, obviamente, un sistema bidimensional $\mathbb{F}_2$ -espacio vectorial para que el número de elementos sea claro.

Por supuesto, en lugar de considerar la primera línea de isomorfismos también se podría mostrar la igualdad $(X^2-3,2X+4) = (X^2-3,2)$ directamente. No obstante, la correspondencia a $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ es útil, porque nos da una idea de cómo mostrar esto.

Answer 2

Casi lo tienes. Para obtener los representantes de las clases en el anillo de cociente divide por $X^2-3$ y tomar los restos como esos representantes. Observa que puedes hacer la división larga por $X^2-3$ sobre los enteros porque el coeficiente principal es $1$ . ¿Qué restos obtienes? Entonces el mod $2$ reduce la lista aún más, de una lista infinita a una lista finita.