¿Hay secuencias infinitas más largas que otras?

Question

En la teoría de conjuntos, hay diferentes niveles de infinito y algunos conjuntos infinitos tienen más elementos que otros conjuntos infinitos.

¿Existe un concepto similar en las series y secuencias? Es decir, ¿algunas secuencias infinitas son más largas que otras?

Los siguientes son algunos ejemplos que se me ocurren:

1. La secuencia de todos los enteros no negativos y la secuencia de todos los números pares no negativos.
   • Probablemente tengan la misma longitud ya que los conjuntos subyacentes son contables y no hay ningún elemento repetido en ninguna de las dos secuencias.
2. La secuencia de expansión decimal de $\pi$ , $(3, 3.1, 3.14, \ldots)$ y la secuencia de dígitos decimales de $\pi$ , $(3, 1, 4, \ldots)$

Answer 1

No, todas las secuencias son "igual de largas". Una secuencia es básicamente un mapa $$\mathbb N\to M$$ para algún conjunto $M$ . Esto significa que la "longitud" de una secuencia es siempre la cardinalidad de $\mathbb N$ , $$|\mathbb N|=\aleph_0.$$

Lo que hizo en su $\pi$ ejemplos era sólo para contar las cosas de diferentes maneras. Esto significa que encontraste alguna bijección a $\mathbb N$ en ambos casos, lo que significa que las dos secuencias son igualmente largas.