Dejemos que $\pi$ ser un $3\times 3$ matriz de proyección ortogonal de rango $2$ , $H$ sea otro simétrico $3\times 3$ matriz y $c$ sea una constante. También dejemos que $A =\pi H/c$ .
Entonces quiero demostrar que los valores propios no nulos de $\frac{-1}{2c}\pi H\pi$ viene dada por
$$\kappa_{\pm} = \frac{\text{tr} A \pm \sqrt{2\text{tr}(A^2) - (\text{tr}A)^2 }}{2} \tag{1}$$ con el fin de completar mi derivación de una fórmula para las curvaturas principales de la superficie.
Para tu información, aquí está el problema original en mi tarea:
Dejemos que $f$ sea una función real suave sobre un conjunto abierto $U$ de $\Bbb{E}^3$ . Supongamos que $X:= f^{-1}(0)$ no está vacío y $df_p \neq 0$ para cualquier $p \in X$ . Poner $$\pi = I - \frac{\nabla f(\nabla f)^T}{|\nabla f|^2}, \quad A = \pi \frac{Hf}{|\nabla f|}$$ Demostrar que $(1)$ es la fórmula de las curvaturas principales de la hipersuperficie $X$ .
He seguido los procedimientos de los ejemplos concretos que se dan en el libro. Aquí copio y pego mis intentos:
Dado $p \in X$ hasta el movimiento rígido, suponga $p = 0$ . Entonces la fórmula de Taylor en $p$ es \begin{align*} f(p + \vec x) = f(0 + \vec x) &= f(0) + \nabla f(p) \cdot \vec x + \frac{1}{2} \vec x \cdot Hf(p) \vec x + o(|\vec x |^2)\\ 0 & = 0 + \underbrace{\frac{\nabla f(p)}{|\nabla f(p)|}}_{\vec n} \cdot \vec x + \frac{1}{2\underbrace{|\nabla f(p)|}_{c}}\vec x \cdot \underbrace{Hf(p)}_{H} \vec x + o(|\vec x^2|) \\ & = \vec n \cdot \vec x + \frac{1}{2c} \vec x \cdot H \vec x + o(|\vec x|^2)\end{align*}
Del álgebra lineal, $P = \vec n \vec n^T$ es la proyección ortogonal sobre el tramo de $\vec n$ . Por lo tanto, el $\pi = I - \vec n \vec n^T$ es la proyección ortogonal sobre el plano tangente en $p$ .
$\vec n \cdot \vec x $ puede escribirse como $x_3$ que es la coordenada de $\vec x$ a lo largo de la dirección $\vec n$ .
Si $x_1, x_2$ son cualesquiera coordenadas ortogonales en el plano tangente a $p$ hasta una rotación alrededor de $x_3$ eje, tenemos $x_3 = \kappa_1x_1^2 + \kappa_2 x_2^2 + o(x_1^2 + x_2^2)$ . De modo que en la forma cuadrática $\vec x \cdot H\vec x$ , la multiplicación posterior de $x_1$ , $x_2$ o $x_3$ en $x_3$ se convertiría en $o(x_1^2 + x_2^2)$ .
De modo que $\vec x \cdot H\vec x = (\pi \vec x) \cdot H(\pi \vec x) + o(x_1^2 + x_2^2)$ y que
$$ x_3 = - \frac{1}{2c} (\pi \vec x) \cdot H (\pi \vec x) + o(x_1^2 + x_2^2) = - \frac{1}{2c} \vec x^T (\pi^T H \pi) \vec x + o(x_1^2 + x_2^2) $$
Por último, para eliminar el término de cruce en $- \frac{1}{2c} \vec x^T (\pi^T H \pi) \vec x $ tenemos que diagonalizar ortogonalmente la matriz $- \frac{1}{2c} (\pi^T H \pi)$ y las entradas no nulas de la matriz diagonal resultante son las curvaturas principales $\kappa_1$ y $\kappa_2$ como se muestra en el ejemplo del libro. Pero esto es lo mismo que calcular los valores propios no nulos de la matriz $- \frac{1}{2c} (\pi^T H \pi)$ y los valores propios resultan ser...
(Aquí necesito sus respuestas)
También comprobé con un ejemplo particular y encontré que los valores propios no nulos de $\frac{-1}{2c}\pi H\pi$ están realmente dadas por $(1)$ y son las curvaturas principales de la superficie.
