Estoy estudiando para un examen preliminar de análisis complejo en agosto, así que estoy repasando algunos de los ejercicios de Titchmarsh. Uno de los ejercicios nos hace evaluar las integrales $$\int_0^\infty\frac{1}{1+x^4}\,dx\quad\text{and}\quad\int_0^\infty\frac{x^2}{1+x^4}\,dx.$$ Después de evaluar cada uno de ellos, encontré $$\int_0^\infty\frac{1}{1+x^4}\,dx=\int_0^\infty\frac{x^2}{1+x^4}\,dx=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.$$ Seguro de que había calculado mal, fui a Wolfram Alpha para verificar mis respuestas y descubrí que tenía lo ha hecho correctamente.
Mi pregunta es por qué estos dos tienen el mismo valor. Intuitivamente, esperaba $\int\frac{x^2}{1+x^4}\,dx$ sea mayor porque en el intervalo $(1,\infty)$ , $x^2>1$ . La única explicación que se me ocurre es que el $x^2$ hace que el integrando sea mucho más pequeño en el intervalo $[0,1]$ que la función original, pero no me habría imaginado que fuera suficiente para que los valores salieran iguales. ¿Hay alguna otra razón intuitiva por la que estas dos integrales sean iguales?
