Estimación máxima a posteriori

Question

La fórmula para calcular la estimación MAP de un parámetro concreto, $p$ está dada por lo siguiente: $p^{MAP} =$ argmax $P(p)P(p|x)$ .

Ahora estoy tratando de hacer una pregunta donde se me dice la distribución previa $P(p)$ y se da que la distribución a priori es una distribución Beta. Utilizando las priores conjugadas, puedo entonces determinar que la posterior $P(p|x)$ debe ser una distribución Beta "actualizada" en función del número de aciertos y fallos.

En este punto, puedo tomar el producto de $P(p)P(p|x)$ y seguir adelante y utilizar el cálculo para encontrar el valor de $p$ que corresponde al argmax.

Sin embargo, la pregunta insinúa que debo resolver esta cuestión maximizando el logaritmo posterior con respecto a $p$ . No entiendo esta sugerencia ya que si sólo maximizo $P(p|x)$ no ignora la información sobre $p$ contenida en $P(p)$ ?

Answer 1

Con $p$ como parámetro y $x$ como los datos, la solución MAP maximiza la posterior $\mathrm{prob}(p | x, \mathcal{I})$ :

$$\begin{align} p_\mathrm{MAP} &= \underset{p}{\operatorname{argmax}} \mathrm{prob}(p | x, \mathcal{I}) \\ &= \underset{p}{\operatorname{argmax}} \frac{\mathrm{prob}(x | p, \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(p | \mathcal{I})}{\mathrm{prob}(x | \mathcal{I})} \\ &= \underset{p}{\operatorname{argmax}} \mathrm{prob}(x | p, \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(p | \mathcal{I}) \\ &= \underset{p}{\operatorname{argmax}} \ln\left[\mathrm{prob}(x | p, \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(p | \mathcal{I})\right] \end{align}$$