Teoría de Yang-Mills

Question

Definimos la energía como $$E = I_F + I_K + I_V,$$ donde, $$I_F [A]= \frac{1}{2} \int d^Dx \operatorname{tr} F^2_{ij},$$ $F_{ij}$ representa la fuerza electromagnética. $$I_K [\phi,A]= \frac{1}{2} \int d^Dx (D_j \phi)^\dagger (D_j \phi),$$ $$I_V [\phi]= \int d^Dx V(\phi),$$ Dada una solución $\bar \phi(x)$ , $\bar A_j(x)$ definimos los campos escalados $$f_\lambda(x)= \bar\phi(\lambda x),$$ $$g_{j\lambda}(x)= \lambda \bar A_j(\lambda x).$$ Procediendo como en el caso escalar puro, encontramos que $$\begin{align} E(\lambda) &= I_F [g_\lambda ] + I_K [f_\lambda , g_\lambda ] + I_V [f_\lambda ] \\ & = \lambda^{4-D} I_F [\bar A] + \lambda^{2-D} I_K [\bar \phi,\bar A]+ \lambda^{-D} I_V [\bar \phi] \tag{1} \end{align}$$ que es estacionario en $\lambda = 1$ si

No entiendo cómo $$I_F [A]=\lambda^{4-D} I_F [\bar A],$$ está en la ecuación (1)

El post está ligeramente relacionado con esto: enlace

Answer 1

Así que,

$$F_{ij}(g_\lambda)(x)=\frac{\partial \lambda \bar{A}_j(\lambda x)}{\partial x_i} -\frac{\partial \lambda \bar{A}_i(\lambda x)}{\partial x_j}$$

se convierte con el cambio de variables $y=\lambda x$

$$F_{ij}(g_\lambda)(x)=\frac{\partial \lambda^2 \bar{A}_j(\lambda x)}{\partial \lambda x_i} -\frac{\partial \lambda^2 \bar{A}_i(\lambda x)}{\partial \lambda x_j} = \lambda^2 \left(\frac{\partial\bar{A}_j(y)}{\partial y_i} -\frac{\partial \bar{A}_i(y)}{\partial y_j}\right)$$

lo que implica que

$$I_F[g_\lambda]=\int d^Dx \; \mbox{tr } F^2(g_\lambda) = \lambda^{4-D}\int d^Dy \; \mbox{tr } F^2(A) \; .$$