Calcular la segunda y tercera iteración

Question

Dejemos que $$L_\mu(x) = \mu x(1-x)$$

Calcular $$L_\mu^2(x)$$ y $$L_\mu^3(x)$$

Entiendo cómo funciona esto cuando se da f(x) pero no entiendo cómo hacerlo con mu en la función.

Answer 1

Tenga en cuenta que, para cada valor específico $\mu$ la definición define una función $L_{\mu}:\mathbb R\rightarrow\mathbb R.$ La notación $L_{\mu}^2$ es el segundo iterado de la función $L_{\mu}$ - es decir, $$L_{\mu}^2(x)=L_{\mu}(L_{\mu}(x))$$ donde se hace lo mismo que se haría con $f^2$ excepto hacerlo a $L_{\mu}$ en su lugar. Así, por ejemplo, podría obtener $$L_{\mu}^2(x)=L_{\mu}(\mu x(1-x))=\mu[\mu x(1-x)](1-[\mu x(1-x)])$$ como una representación válida de esto, donde las expresiones entre corchetes son simplemente $L_{\mu}(x)$ - aunque es posible que se quiera simplificar o ampliar esta expresión.

En general, se puede pensar que los subíndices tienen mayor precedencia que los superíndices en este contexto: $L_{\mu}^n$ significa $(L_{\mu})^n$ . También puedes pensar en esto como si $\mu$ eran variables; si definimos $$f(x)=\mu x(1-x)$$ su método habitual de cálculo $f^2(x)$ funcionaría. La notación $L_{\mu}$ simplemente da un nombre a la familia de funciones de esta forma que uno podría obtener para varios $\mu$ .

Answer 2

Se nos da que $\,L_\mu(x) := \mu x(1-x).\,$ Tenemos que $$ x_1 := L_\mu(x) = \mu x(1-x), \tag{1}$$ $$ x_2 := L_\mu(x_1) = \mu x_1(1-x_1), \tag{2} $$ $$ x_3 := L_\mu(x_2) = \mu x_2(1-x_2) \tag{3} $$ son los tres primeros iterados. Sustituya $\,x_2\,$ de la ecuación $(2)$ para conseguir $$ x_3 = \mu (\mu x_1(1-x_1)) (1-\mu x_1(1-x_1)). \tag{4}$$ Sustituir $\,x_1\,$ de la ecuación $(1)$ en esto para conseguir $$ x_3 = \mu (\mu (\mu x(1-x))(1-\mu x(1-x))\\ (1- \mu (\mu x(1-x))(1-(\mu x(1-x)))). \tag{5}$$ Ampliar $\,x_3\,$ en un polinomio en $\,x\,$ para conseguir $$ x_3 = \mu^3 x - (\mu^3+\mu^4+\mu^5)x^2 +\cdots + 4\mu^7 x^7 - \mu^7 x^8. \tag{6} $$