¿Cómo encontrar la MLE, la distribución de probabilidad y el sesgo?

Question

Supongamos que los datos consisten en un solo número $X$ de la siguiente densidad de probabilidad:

$$f(x|) = \begin{cases} \frac{1+x}{2} & & \text{for } -1 \leqslant x \leqslant 1, \\[6pt] 0 & & \text{otherwise}, \end{cases}$$

donde $-1 \leqslant \theta \leqslant 1$ . Encuentre la estimación de máxima verosimilitud (MLE) $\hat{\theta}$ del parámetro $\theta$ y encontrar su distribución de probabilidad (exacta). ¿Es la MLE insesgada? Encuentre su sesgo y su MSE. [Sugerencia: Primero encuentre la MLE para algunos valores de muestra de $X$ que debería sugerirte la solución general. Dibujar un gráfico ayuda. La distribución de la MLE dependerá, por supuesto, de $\theta$ .]

¿Cómo empiezo?

Answer 1

Comienza con la pista dada. Tome $x=0.3$ . ¿Puedes encontrar el valor de $\theta\in[-1,1]$ que maximiza $\frac{1+0.3\theta}{2}$ ?

Toma $x=0.8$ . ¿Puedes encontrar el valor de $\theta\in[-1,1]$ que maximiza $\frac{1+0.8\theta}{2}$ ?

Toma $x=-0.5$ . ¿Puedes encontrar el valor de $\theta\in[-1,1]$ que maximiza $\frac{1-0.5\theta}{2}$ ?

Toma $x=-0.9$ . ¿Puedes encontrar el valor de $\theta\in[-1,1]$ que maximiza $\frac{1-0.9\theta}{2}$ ?

Answer 2

El primer paso para encontrar la MLE es escribir la función de verosimilitud (o función log-verosimilitud). En el presente problema, con un único punto de datos observado, ésta viene dada por:

$$\ell_x(\theta) = \ln(1 + x \theta) + \text{const.} \quad \quad \quad \text{for } -1 \leqslant \theta \leqslant 1.$$

Esta es la función que hay que maximizar para obtener la MLE. La maximización de esta función es un problema de cálculo univariante, que requerirá derivar la primera y segunda derivadas de la función. Al maximizar esta función, obtendrá el MLE como una función del valor de los datos observados $x$ y puede pasar a las siguientes partes de la pregunta. (En este caso, verás que el valor maximizador es una "solución límite" del problema).