Significado de $\int\mathop{}\!\mathrm{d}^4x$

Question

¿Qué significa la siguiente fórmula?

$$\int\mathop{}\!\mathrm{d}^4x$$

Sé que este $\int f(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x$ es la integral de la función $f$ sobre el $x$ variable, sino la siguiente $\int\mathop{}\!\mathrm{d}^4x$ dejar vacío el argumento y además tener el $\mathrm{d}$ elevado a la cuarta potencia. ¿Qué significa eso?

Actualización.

En la acción de Einstein-Hilbert tenemos (nótese que he entendido que las otras partes de la integral son relevantes sólo después de tus respuestas, así que lo siento):

$$S=\frac{c^4}{16\pi G}\int\mathop{}\!\mathrm{d}^4x \, \ R \sqrt{-g}$$

Answer 1

Es una notación utilizada habitualmente en física.

En su lengua $$ \int\mathop{}\!\mathrm{d}^3 p \,f(p) = \int_{\Omega} f(x,y,z)\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathop{}\!\mathrm{d}z. $$ Varias observaciones:

• El dominio donde se realiza la integración no está especificado, ya que podemos tener la flexibilidad de realizar la integración en el espacio de momento o en el espacio de posición.

• El exponente en el hombro de $\mathrm{d}$ especifica la dimensionalidad de esta integral, por lo que no $\iint$ o $\iiint$ .

• La variable sobre la que se realiza la integración se escribe antes del integrando.

Así que si es $\mathrm{d}^4 x $ normalmente significa integrar en todo el espacio-tiempo.

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Algunas actualizaciones: No soy experto en GR pero si la integración es $$ S=\frac{c^4}{16\pi G}\int\mathop{}\!\mathrm{d}^4x \, R \sqrt{-g}, $$ entonces $\mathrm{d}^4x\,\sqrt{-g}$ significa que la integración se realiza en todo el espacio-tiempo $\mathcal{M}$ con cierta métrica $g$ . La métrica también tiene un determinante negativo (relevante para la $( + + +)$ convención sobre signos ). El elemento "volumen" en el espacio-tiempo para esta integración es en realidad $$ \underbrace{\mathrm{d}^4 x\,\sqrt{-g}}_{\text{Physics type of notation}} = \underbrace{\sqrt{|g|} d x\wedge d y\wedge d z\wedge cd t}_{\text{Volume element of integration performed on a manifold with metric } g}. $$ Aquí no podemos escribir por separado $\mathrm{d}^4 x$ Ello provocaría un cierto nivel de confusión en la métrica. Además, la notación de tipo matemático sólo es válida cuando equipamos localmente la variedad con un sistema de coordenadas $(dx,dy,dz,-cdt)$ mientras que la notación física deja sin especificar el sistema de coordenadas del elemento de volumen para evitar algunos problemas técnicos.

Ahora, debido a que la métrica del espacio-tiempo $g$ no es una constante sino cambiante en todo el espacio-tiempo, normalmente no escribimos en forma de $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d} z\,c\mathrm{d} t$ o $ \mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z\wedge c\mathrm{d} t$ a menos que sepamos que el espacio-tiempo es plano (espacio-tiempo de Minkowski). Te sugiero que intentes derivar tú mismo la acción utilizando una partícula de masa unitaria que se mueve en un campo gravitatorio en el tiempo de Minkowski para entender mejor la notación.

Una simple analogía: El elemento "área" en el sistema de coordenadas polares es $rdrd\theta$ (escrito en la convención de notación matemática), mientras que en física la integración se escribe como: $$ \int\mathop{}\!\mathrm{d} \theta\mathrm{d} r\,r \,f(r,\theta). $$

Answer 2

Esto es particularmente común en Física, donde representa una integral sobre todas las coordenadas espaciotemporales. Aquí $x=(t,x,y,z)$ en unidades naturales (nótese el $x$ de la izquierda no es el mismo que el de la derecha. Entonces $$\int \mathrm{d}^4x \equiv \int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \int \mathrm{d}y \int \mathrm{d}z$$ es sólo una abreviatura.

Obsérvese también que en Física escribimos el $\mathrm{d}x$ antes del integrando, no después.

Answer 3

Cuando trabajamos con funciones $f : \Bbb R \to \Bbb R$ es común denotar la integral de $f$ en $[a,b]$ simplemente:

$$\int_a^bf(x)dx$$

Esta notación tiene mucho que ver con el hecho de que en el tratamiento clásico, $dx$ se consideraba una "longitud infinitesimal" en la $x$ eje, $f(x)dx$ un área infinitesimal, y la integral la suma de esas áreas infinitesimales. Esta idea de infinitesimales llevó a confusiones, de modo que fue barrida para que tengamos hoy el moderno y formal análisis estándar. En este caso, la $dx$ suele ser superflua y escribimos la integral simplemente como:

$$\int_a^bf$$

Ahora, para las funciones $f: A \subset \Bbb R^n \to \Bbb R$ solemos escribir la integral exactamente como arriba o en el "lenguaje clásico" simplemente como:

$$\int_A f = \idotsint_Af(x_1,\dots,x_n)dx_1\cdots dx_n$$

Así que la gente suele simplificar la escritura $d^n x$ para que tengamos:

$$\int_A f = \idotsint_A f(x) d^nx$$

Ahora, esto es sólo notación. Sin embargo, se puede dar un significado riguroso en el contexto de las formas diferenciales. En realidad, cuando estudiamos el análisis sobre $\Bbb R^n$ y cuando estudiamos geometría diferencial, nos damos cuenta de que los objetos realmente significativos para integrar son las llamadas formas diferenciales. En ese contexto, $dx$ , $dy$ y etc reciben un tratamiento formal: son formas diferenciales.

Allí introducimos el concepto de producto cuña entre formas denotadas $\wedge$ y así la gente suele poder escribir:

$$d^n x = dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$$

Dónde $dx^i$ es el diferencial del $i$ -ésima función de coordenadas. Resulta que se trata de una "forma de volumen", luego las funciones escalares pueden ponerse en correspondencia con $n$ -formas en $n$ -de modo que para $f : \Bbb R^n \to \Bbb R$ asociamos la forma diferencial $\omega \in \Omega^n(\Bbb R^n)$ dada por :

$$\omega = f d^n x = f dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$$

Para saber más sobre formas diferenciales, consulte Cálculo sobre Múltiples de Spivak. Espero que esto te ayude de alguna manera. ¡Que tengas suerte!