¿Qué son los fractales

Question

Siempre he sido sorprendido por cosas como el conjunto de Mandelbrot. Comparto la opinión de la mayoría de los que ella y el copo de nieve de Koch son absolutamente hermosas. Me decidí a conseguir un más profundo conocimiento matemático de esto, pero, lamentablemente, la wikipedia no ha sido de mucha ayuda. Tengo un par de preguntas que me inició en este entonces.

• ¿Qué $z_{n+1} = z_n^2 + c$ media? Nos tomamos un valor inicial de $z_n$ y calcular los sucesivos puntos y seguir en el trazado de ellas en el plano complejo?

• ¿Cuál es su importancia histórica? Siento que saber cuando algo vino de nos ayuda a apreciar aun más. ¿De dónde surgió esta ecuación de primer? ¿Por qué se requiere para ser estudiado?

Esas son mis preguntas específicas, por el momento, pero teniendo en cuenta el hecho de que sólo estoy tratando de aprender acerca de los fractales, la que puede no estar muy bien preparados para hacer las preguntas adecuadas, en cuyo caso usted podría decirme cualquier otra cosa que creo que vale la pena mencionar.

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EDIT: tengo una preocupación específica acerca de la ecuación. Se dice que $z$ y $c$ son números complejos. Todo muy bueno, aparte del hecho de que $\mathbb R$ es un subconjunto de $\mathbb C$ por lo que aparentemente los valores de partida puede ser real. Pero no se que llevar a todos los puntos que caen sobre la recta real, y que conduce a un viejo y simple línea en lugar del Conjunto de Mandelbrot que sabemos? Aunque no pude encontrar ninguna referencia(por lo tanto, esta pregunta no basta con definir los valores iniciales de no ser real, ser un poco... arbitraria? Creo que tengo una idea errónea de lo que la ecuación en realidad significa.

Answer 1

En primer lugar, debe hacerse una distinción: un fractal es una cosa, y ciertos métodos para la construcción de particular fractales son otra.

Vagamente, un fractal puede ser descrito como un objeto, que es la auto similar en los diferentes escalas, es decir, "zoom" en repetidas ocasiones conduce a la misma curva. Una propiedad interesante de los fractales que a veces se utiliza para definir ellos, es que uno puede asignar un no entero dimensión. Por ejemplo, una curva suave que tiene dimensión 1, pero un copo de nieve de Koch es en un cierto sentido, más cerca de ser un dos dimensiones del objeto, y podemos asignar que no sea un número entero dimensión de $\sim1.26$. Intuitivamente, Una alfombra de Sierpinski es incluso más cerca de un objeto en 2D, y de hecho lo asignamos una mayor dimensión fractal, de $\sim1.89$.

En cuanto a Mandelbrot del famoso conjunto, la idea es la siguiente: Para comprobar si es o no un (complejo valorado) punto $c$ es en el conjunto, empiece con $z_0=0$, e iterar. Cuando la serie se mantiene ligada, $c$ es en el conjunto. Cuando la serie diverge, $c$ no está en el conjunto. (intente $c=-1,0,1$ por ti mismo, y ver lo que se obtiene). Por ejemplo, es el punto de $i$, es decir $(0,1)$ en el conjunto de Mandelbrot? $$z_1 = 0^2 + i = i,\quad z_2 = i^2 + i = i - 1,\quad z_3 = (i-1)^2+i= -me$$ $$z_4 = (-i)^2+i = i-1$$ Por lo tanto, el punto de $i$ conduce a una obligada repite en bucle, y es, por tanto, en el conjunto de Mandelbrot (es decir, el área negra en la mayoría de los dibujos).

Answer 2

Un fractal es tal vez la mejor definido como un conjunto que es complejo arbitrariamente en un a pequeña escala. Mientras que una curva suave que se ve como una línea si se acerca lo suficiente, un fractal nunca se ve como algo tan simple, no importa lo lejos que se acerca. Por ejemplo, vean este video.

Como un caso especial, para muchos fractales, el zoom en una pequeña región (y de recorte) se producen una serie idéntica a la original, fractal, y esto es cierto sin importar lo lejos que se acerca. Tal fractales son llamados auto-similar.

En cuanto a la definición del conjunto de Mandelbrot: Para la notación funcional, deje de $f^n(z)$ denotar $$\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{n\text{ momentos}}$$ Para un punto fijo de $c \in \mathbb C$, vamos a $f_c$ ser la función $f_c(z) = z^2 + c$. Entonces $c$ es un miembro del conjunto de Mandelbrot si y sólo si $\lvert f_c^n(0)\rvert\no\to \infty$ como $n \to \infty$. Si $c$ pasa a ser un número real, entonces es cierto que $f^n_c(0)$ es verdadera para todos los valores de $n$. Hay, aproximadamente, dos razones por las que llevar los números complejos en la imagen:

1. Te preocupa lo que ocurre con los números complejos.
2. Quieres obtener una buena imagen. (En menos expresivo del lenguaje, de encontrar el conjunto de Mandelbrot intrínsecamente interesante, incluso si se considera sólo como un subconjunto de $\mathbb R^2$, y los números complejos son de la forma más fácil de definir.)

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Actualización: Ciertas figuras geométricas son diferenciables (es decir, $C^1$) y, sin embargo, parecen ser complejos en forma arbitraria pequeñas escalas: ver la parte de abajo de la página en la Hevea proyecto. Debe considerar los fractales? Si uno define fractales basado en la dimensión fractal, entonces la respuesta es "no". Pero me inclino a pensar esto pone de manifiesto una deficiencia en la dimensión fractal basado en la definición. Los autores de la Hevea proyecto de llamar a estos objetos "$C^1$ fractales."

Answer 3

Matemáticamente, el término "fractal". Un fractal es un conjunto con un no-entero dimensión de Hausdorff, que es una generalización de lo que normalmente pensamos de "dimensión" (por ejemplo, la dimensión de Hausdorff de una línea es 1; de un avión es de 2).

La mayoría de simple ejemplo de un fractal es el conjunto de Cantor:

La imagen representa a la construcción del conjunto y el conjunto se define en el límite este de la construcción tiende a infinito (es decir, como se va a la baja). Es posible calcular la dimensión de este conjunto, que es de $\log(2)/\log(3)\noen \mathbb{N}$.

Cualquier otra forma de definir un fractal es ambiguo y propenso a magicality. Dada la cantidad de sutilezas en este tema, aferrándose a algunos matemáticos rigor ayuda.

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Relación con el caos

La ecuación que escribió, más generalmente escrita como $x_{n+1}=F(x_n)$, es un sistema dinámico en tiempo discreto (también llamado un mapa).

La razón por la que normalmente aparecen relacionados con fractal que se establece es que caótico de los sistemas dinámicos en general han fractal conjuntos. Saltarse un total de pregrado libro, el más notable de la relación entre los fractales y sistemas caóticos es que la dimensión del atractor está relacionado con el exponente de Lyapunov del sistema, es decir, la topología de la propiedad (dimensión) está relacionada con una propiedad dinámica (exponente de Lyapunov).

Para ilustrar mejor este punto, considere el siguiente caótico mapa:

$$x_{n+1} = 3 x_n\ \ para\ \ 0 < x_n < 1/2;\ \ \ \ \ \ x_{n+1} = 3 (1 - x_n)\ \ para\ \ 1/2 < x_n < 1$$

En cada iteración del mapa hay algunos puntos que quedan dentro del intervalo [0,1], y algunos puntos que dejar el intervalo.

Los puntos que se quedan hasta el momento $n^*$ son exactamente la construcción del conjunto de Cantor en el $n^*$ iteración. Aquellos que no deje nunca son el conjunto de Cantor.

Esto y mucho más se puede encontrar en el fascinante (y viejos) tema de Caos... ^_^

Answer 4

¿De dónde $z_+=z^2+c$?

En realidad, esta historia comenzó con el estudio del método de Newton. Si usted lo aplica a un polinomio de la ecuación, se obtiene una iteración de un racional de la función.

Desde que el tema era generalizada arbitraria de funciones racionales sin relación con el método de Newton y, a continuación, especializado para los casos "fáciles".

Lineal

La primera de las funciones lineales. $z_+=ax+b$. A partir de la solución de la teoría lineal de las recurrencias en sabe que uno puede multiplicar por $(1)$ y distribuir $b$ obtener $$w_+=(a-1)z_++b=((a-1)z+b)=aw$$ para obtener una forma normal y saber que, para $|a|<1$ es una contracción de cero y para $|a|>1$ que diverge a infinito.

Cuadrática

El próximo sencillo se cuadrática iteraciones $z_+=az^2+bz+c$. De nuevo, el cambio y la ampliación de la secuencia no va a cambiar la calidad de la imagen, de modo que uno puede tratar de reducir el número de coeficientes. Multiplicar por $un$ da $$az_+=(az)^2+b(az)+ca,$$ para wlog. uno puede establecer $a=1$. Ahora completar el cuadrado, $$ az_++\tfrac b2=\left(az+\tfrac b2\right)^2+\tfrac b2-\tfrac{b^2}4+ca $$ Para establecer $w=az+\tfrac b2$ y $\tilde c=\tfrac b2-\tfrac{b^2}4+ac$, y la forma reducida de la ecuación cuadrática de la iteración es $$ w_+=w^2+\tilde c, $$ la iteración de los fractales de Mandelbrot.

Hay otra forma normal de esta iteración, el Feigenbaum iteración, que es por lo general sólo se considera en la línea real, más específicamente en el intervalo $[0,2]$, con un parámetro $λ\en[0,4]$, \begin{align} x_+=λ x(1-x) &\iff (-λx_+)=(-λx)^2+λ(-λx) \\ &\iff (-λx_++\tfrac λ2)=(-λx+\tfrac λ2)^2+\tfrac14-\tfrac{(λ-1)^2}4 \end{align} por lo que cubre la línea real en el conjunto Mandelbrot diagrama de $-\infty$ $\tfrac14$, con $λ\en[0,4]$ cubriendo el rango a partir de $-2$, el punto de la antena del conjunto de Mandelbrot.

Cúbicos

Ahora puede continuar con cúbicos de iteraciones. Allí uno puede volver a normalizar el coeficiente inicial de $1$ y la cuadrática $0$, por lo que la forma reducida es $$ z_+=z^3+sz+t $$ pero ahora tenemos 4 real grados de libertad y una simetría, en la que el cambio a $z$ a $z$ resultados en igual medida de la reducción de la iteración $$ z_+=z^3+sz-t $$

Answer 5

Este es un buen documental acerca de los fractales; y aquí una presentación TED del padre de los fractales - Benoit Mandelbrot.