Demostrar que $(\frac{bc+ac+ab}{a+b+c})^{a+b+c} \ge \sqrt{(bc)^a(ac)^b(ab)^c}$

Question

Demostrar que $(\frac{bc+ac+ab}{a+b+c})^{a+b+c} \ge \sqrt{(bc)^a(ac)^b(ab)^c}$

Lo he probado a hacer usando $AM \ge GM$ pero no sé cómo proceder.

Por favor, ayuda.

Answer 1

Hay una buena solución de esto usando la convexidad. La desigualdad de Jensen establece que si $f$ es una función cóncava y $p_1, ... ,p_n$ es una distribución, entonces para cualquier número $x_1, ... ,x_n$ que tenemos: $$ f\left(\sum_{i=1}^n{p_i x_i}\right) \geq \sum_{i=1}^n{p_i f(x_i)} . $$

Utilizaremos esto y el hecho de que $\log$ es una función cóncava. Tomemos el logaritmo del lado izquierdo y veamos a dónde nos lleva. Obtenemos: $$ (a+b+c) \log\left(\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}\right) = $$ $$ (a+b+c) \log\left(\left(\frac{a}{a+b+c}\right) b + \left(\frac{b}{a+b+c}\right) c + \left(\frac{c}{a+b+c}\right) a \right) \geq $$

Ahora usamos a Jensen.

$$ (a+b+c) \left[ \frac{a}{a+b+c} \log(b) + \frac{c}{a+b+c} \log(a) + \frac{b}{a+b+c} \log(c)\right] = $$

$$ a\log(b)+b\log(c) + c\log(a) = \log\left(b^a c^b a^c\right). $$

Esto nos da la desigualdad $$ \left(\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}\right)^{a+b+c} \geq b^a c^b a^c . $$ De la misma manera podemos demostrar que $$ \left(\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}\right)^{a+b+c} \geq a^b b^c c^a , $$ Por lo tanto, la desigualdad es válida para la media geométrica de estas dos cantidades. $$ \left(\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}\right)^{a+b+c} \geq \sqrt{b^a c^b a^c a^b b^c c^a} = \sqrt{(ab)^c(ac)^b(bc)^a} . $$