$X$ sea un espacio de Banach con un subespacio denso propio $Y$ . ¿Puede el operador de identidad en $Y$ se extienda a una función continua de $X$ en $Y$ ?

Question

Dejemos que $X$ sea cualquier espacio de Banach con un subespacio denso propio $Y$ . ¿Puede el operador de identidad en $Y$ se extienda a una función continua de $X$ en $Y$ ?

Answer 1

Supongamos que $F$ es una extensión de este tipo. Entonces $F(x) = x$ para $x \in Y$ . Pero como $Y$ es denso, lo que implica que $F(x) = x$ para todos $x \in X$ . Así que debemos tener $Y = X$ .