Una pregunta del examen estandarizado es:
La media de $n$ números es $a$ . Si $x$ se resta a cada número la media será
a) $(ax)/n\quad$ b) $(an)/x\quad$ c) $an-x\quad$ d) $n-x\quad$ e) $a-x$
La respuesta es e) $a-x$ .
¿Podría alguien ayudarme a entender cómo el autor obtuvo esta respuesta?
Supongamos que los números originales fueran $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_n$ para que la media sea $$a=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.$$
Ahora, si restamos $x$ de cada uno de los números, vamos a promediar $x_1-x$ , $x_2-x$ , ..., $x_n-x$ , lo que da $$\begin{align} \frac{(x_1-x)+(x_2-x)+\cdots+(x_n-x)}{n} &=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n-n\cdot x}{n}\\ &=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{nx}{n}\\ &=a-x. \end{align}$$
Dejemos que $n_1, \dots, n_m$ sea el $m$ números. Que la media de los números es $a$ significa que $$\frac{n_1 + \dots + n_m}{m} = a. $$ Ahora resta $x$ de cada número y calcula la media y obtienes
$$\begin{align} \frac{(n_1- x) + \dots +(n_m - x) }{m} &= \frac{n_1 + \dots + n_m - mx}{m} \\ &= \frac{n_1 + \dots n_m}{m} - \frac{mx}{m} \\ &= a - x \end{align} $$
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